Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．半径为1的圆的圆心P以1个单位/s的速度由点A沿AC方向在AC上移动，设移动时间为t（单位：s）．
（1）当t为何值时，⊙P与AB相切；
（2）作PD⊥AC交AB于点D，如果⊙P和线段BC交于点E，证明：当t=

16

5

s时，四边形PDBE为平行四边形．

Answer 1

分析：（1）当⊙P在移动中与AB相切时，设切点为M，连接PM，根据△APM∽△ABC可求得t的值；
（2）由BC⊥AC，PD⊥AC，易得BC∥DP，再分别求得PD、BE的值，证明其相等，即可得出四边形PDBE为平行四边形的结论．

解答：（1）解：当⊙P在移动中与AB相切时，
设切点为M，连接PM，则∠AMP=90°，
∴△APM∽△ABC，
∴

AP

AB

=

PM

BC

，
∵AP=t，AB=

AC2+BC2

=5，
∴

t

5

=

1

3

，
∴t=

5

3

．（4分）

（2）证明：∵BC⊥AC，PD⊥AC，
∴BC∥DP，
当t=

16

5

s时，AP=

16

5

，
∴PC=4-

16

5

=

4

5

，
∴EC=

PE2-PC2

=

12-( 4 5 )2

=

3

5

∴BE=BC-EC=3-

3

5

=

12

5

，
∵△ADP∽△ABC，
∴

PD

BC

=

AP

AC

，
∴

PD

3

=

16 5

4

，
∴PD=

12

5

，
∴PD=BE，
∴当t=

16

5

s时，四边形PDBE为平行四边形．

点评：此题主要考查切线的性质、相似三角形的判定和性质以及平行四边形的判定．