Question

4．如图所示，半径为1的圆盘O竖直放在水平的地面上，圆盘外绕有细线（没有弹性），假设细线的末端最初在距地面高度为1米的点P处，现紧拉线的末端让它渐渐离开圆盘至点Q处，此时细线段TQ对应的直线与圆盘相切于点T．若TQ=$\frac{π}{3}$米，则Q点距离地面的高度为$\frac{3\sqrt{3}-π+6}{6}$米．

Answer 1

分析 连接OT，连接OP，并延长OP角TQ的延长线与A，过点Q作QB⊥OA，垂足为B．先求得圆的周长为=2π，然后根据$\widehat{TP}$=$\frac{π}{3}$，可求得∠TOA=60°，由切线的性质可知∠OTA=90°，由特殊锐角三角函数值可知TA=$\sqrt{3}$OT=$\sqrt{3}$，故QA=$\sqrt{3}-\frac{π}{3}$，然后在Rt△QBA中根据30°所对的直角边等于斜边的一半可知QB=$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{6}$，最后根据点Q的高度=QB+1求解即可．

解答 解：如图所示：连接OT，连接OP，并延长OP角TQ的延长线与A，过点Q作QB⊥OA，垂足为B．

∵圆O的半径为1，
∴圆O的周长=2π．
∵TQ=$\frac{π}{3}$，
∴$\widehat{TP}$的长度=$\frac{π}{3}$．
∴∠TOA=60°．
∴∠TAO=30°．
∵AT是圆O的切线，
∴OT⊥TA．
∴∠OTA=90°．
∴TA=$\sqrt{3}$OT=$\sqrt{3}$．
∴QA=$\sqrt{3}-\frac{π}{3}$．
∵QB⊥AO，
∴∠QBA=90°．
∵在Rt△QBA中∠A=30°，
∴QB=$\frac{1}{2}QA$=$\frac{1}{2}×（\sqrt{3}-\frac{π}{3}）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{6}$．
∵点Q的高度=QB+1，
∴点Q的高度=$\frac{3\sqrt{3}-π+6}{6}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}-π+6}{6}$．

点评 本题主要考查的是切线的性质、特殊锐角三角函数值，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．