Question

1．阅读材料：
小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如图设计：

说明：方案一图形中的圆过点A，B，C，圆心O也是正方形的顶点；
回答问题（直接写出结果）：
（1）方案二中，直角三角形纸片的两条直角边长分别为4cm和8cm；
（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率是$\frac{6}{5π}$（填准确值），近似值约为38.2%．相比之下，方案二的利用率是37.5%．小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率是49.9%．

Answer 1

分析 （1）如图，作辅助线，利用三角形全等和三角形相似对应边成比例，可以分别求得直角三角形的两个直角边的长度
（2）由（1）的结论直接可以得出结论，求得圆的半径后可以求得纸片的面积，从而利用展开图的面积除以总面积即可求得利用率；利用方案（3）的方法，分析求解即可求得答案．

解答 【解答】解：（1）如图3：建立平面直角坐标系，可得E（2，3）、F（4，2）得直线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4，
∴A（0，4）B（8，0）
∴AC=4  BC=8．
故答案为：4，8；
（2）方案一：∵由题意知：AB=2$\sqrt{5}$，
∴圆的半径为$\sqrt{5}$，∴圆的面积为5π，
∵展开图的面积为6，
∴利用率=$\frac{展开图的面积}{纸板的总面积}$×100%=$\frac{6}{5π}$×100%=$\frac{6}{5π}$；
方案二：由（1）知，AC=4  BC=8．
∴S_△ACB=16．
∴该方案纸片利用率=$\frac{展开图的面积}{纸板的总面积}$×100%=$\frac{6}{16}$×100%=37.5%．
方案三：过点C作CD⊥EF于D，过点G作GH∥AC，交BC于点H，
设AP=a，
∵PQ∥EK，
易得△APQ∽△KQE，△CEF是等腰三角形，△GHL是等腰三角形，
∴AP：AQ=QK：EK=1：2，
∴AQ=2a，PQ=$\sqrt{5}$a，
∴EQ=5a，
∵EC：ED=QE：QK，
∴EC=$\frac{5}{2}$a，
则PG=5a+$\frac{5}{2}$a=$\frac{15}{2}$a，GL=$\frac{5}{2}$a，
∴GH=$\frac{25}{8}$a，
∵$\frac{GH}{2a+5a+\frac{5}{2}a}$=$\frac{GB}{GB+\frac{15}{2}a+a}$，
解得：GB=$\frac{25}{6}$a，
∴AB=$\frac{38}{3}$a，AC=$\frac{19}{2}$a，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×AC=$\frac{361}{6}$a²，
S_{展开图面积}=6×5a²=30a²，
∴该方案纸片利用率=$\frac{扇形图的面积}{纸板的总面积}$×100%=$\frac{180}{361}$×100%=49.86%≈49.9%
故答案为：$\frac{6}{5π}$，37.5，49.9%

点评 此题考查了圆周角的性质，相似三角形与全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识．此题综合性很强，难度较大，解题时要注意数形结合思想的应用．