Question

点B与点P都在反比例函数y=（k＞0）（x＞0）第一象限的图象上，其中P为反比例函数该图象上的一个动点，且OB=4，过B，P作x轴垂线垂足分别为A，C，∠BOA=30°．设P（m，n），Rt△AOB与Rt△COP重合部分面积为S．
（1）求反比函数的解析式；
（2）求S与m的函数关系．

Answer 1

解：（1）∵OB=4，过B，P作x轴垂线垂足分别为A，C，∠BOA=30°，
∴BA=OB=2，
∴OA=AB=2，
∴点B的坐标为：（2，2），
∵点B在反比例函数y=（k＞0）（x＞0）第一象限的图象上，
∴2=，
解得：k=4，
∴反比例函数的解析式为：y=；

（2）设线段OB所在直线的解析式为：y=kx，
∵y=kx经过B点，
∴2=2，
解得：k=，
∴线段OB所在直线的解析式为：y=x．
∵P点的坐标为（m，n），PC⊥x轴于点C，
∴D点的横坐标为m，
∵点D在直线：y=x上，
∴点D的纵坐标为m，
∴线段OC=m，线段CD=m，
∴S=OC•CD=×m×m=m²．
分析：（1）利用OB=4，∠BOA=30°求得线段AB和线段OA的长即可得到点B的坐标，进而可以求得经过点B的双曲线的解析式；
（2）求得线段OB所在直线的解析式，然后求得线段OB和线段PC的交点坐标，进而可以表示出面积S．
点评：本题考查了反比例函数的综合知识，解题的关键是能够将点的坐标转化为线段的长，从而用点的坐标表示出三角形的面积．