Question

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线经过B点，且顶点在直线上．

【小题1】求抛物线对应的函数关系式；
【小题2】若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由
【小题3】在（2）的条件下，连结BD，已知在对称轴上存在一点P，使得△PBD的周长最小．请求出点P的坐标．
【小题4】在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（与点O、B不重合），过点M作MN∥BD交x轴于点N，连结PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【小题1】∵抛物线经过B（0，4），∴，------1分

∵顶点在直线上，∴，，
∴所求函数关系式为： --------------------------------------2分
【小题2】在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴，
∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）．---------------------------------3分 
当时，，-----------------------------------------4分
当时，，
∴点C和点D在所求抛物线上．--------------------------------------------------5分
【小题3】设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点， --------------------------6分
设直线CD对应的函数关系式为，
则，解得：，
∴，---------------------7分
当时，，∴P（，），-------------------8分
【小题4】∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD，
∴，，，---------------9分
设对称轴交x轴于点F，则，
∵，，
∴（-------------10分
由，
∴当时，S取得最大值为，-----------------11分
此时点M的坐标为（0，）．解析:
此题考核二次函数的综合应用
（1）  通过B（0，4），顶点在直线上，求出函数关系式
（2）  通过勾股定理和菱形性质求出C、D两点的坐标，代入函数关系式求证
（3）  通过C、D两点的坐标, 求出直线CD对应的函数关系式,从而求出点P的坐标
通过△OMN∽△OBD，求得，再通过面积求得S与t的函数关系式，从而求得最大值和M点的坐标