Question

（2005•济南）如图1，将边长为2cm的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点B顺时针旋转一个角度，若使重叠部分的面积为cm²，则这个旋转角度为    度．
如图2，将上述两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC翻折成等腰直角三角形后，再抽出其中一个等腰直角三角形沿AC移动，若重叠部分△A′PC的面积是1cm²，则它移动的距离AA′等于    cm．

Answer 1

【答案】分析：（1）设CD与A′D′交于点G，连接BG，易得BG为ABCG的对称轴；故S_△BCG=；则CG=；易得∠GBC=30度．故这个旋转角度为30°．
（2）平移中，得到的是相似三角形，若重叠部分△A′PC的面积是1cm²，则A′C=2cm；则AA′=（2-2）cm．
解答：解：（1）设CD与A′D′交于点G，连接BG．
在△A′BG与△CBG中，
∵∠A′=∠C=90°，BG=BG，A′B=CB，
∴△A′BG≌△CBG．
∴BG为四边形A′BCG的对称轴．
∴S_△BCG=S_{四边形A′BCG}=，
又∵BC=2，
∴CG=．
∴tan∠GBC=，
∴∠GBC=30°，
∴∠A′BC=2∠GBC=60°．
∴∠CBC′=30°，
故这个旋转角度为，30°．

（2）∵△A′PC∽△ABC，
∴=，
又∵三角形ABC的面积=×2×2=2cm²，△A′PC的面积是1cm²，AC=2cm，
∴A′C=2cm，
∴AA′=AC-A′C=（2-2）cm．
点评：本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应角、对应线段都相等．