Question

已知抛物线y=-x²-2x+a（a＞0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y=

1

2

x+

1

2

a与x轴相交于B点，与直线AM相交于N点；直线AM与x轴相交于C点
（1）求M的坐标与MA的解析式（用字母a表示）；
（2）如图，将△NBC沿x轴翻折，若N点的对应点N′恰好落在抛物线上，求a的值；
（3）在抛物线y=-x²-2x+a（a＞0）上是否存在一点P，使得以P、B、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）将抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可求得点M的坐标；易知点A坐标为（0，a），利用待定系数法即可求得直线MA的解析式；
（2）联立直线MA、直线BN的解析式，即可求得点N的坐标，由于点N、N′关于x轴对称，那么它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数，由此可求得点N′的坐标，再将其代入抛物线的解析式中，即可求得a的值；
（3）分别过B、C、N作NC、BN、BC的平行线，三线相交于P₁、P₂、P₃三点，则四边形BP₁CN、四边形BCP₂N、四边形BCNP₃都是平行四边形，易求得B、C的坐标，根据平行四边形的性质即可得到P₁、P₂、P₃的坐标，然后将它们分别代入抛物线的解析式中，即可求得a的值．

解答：解：（1）已知抛物线：y=-x²-2x+a=-（x+1）²+a+1；
∴M（-1，a+1），
易知：A（0，a），设直线MA的解析式为y=kx+b，则有：

b=a -k+b=a+1

，
解得

k=-1 b=a

，
∴直线MA：y=-x+a；

（2）联立直线MA、直线BN的解析式有：

y=-x+a y= 1 2 x+ 1 2 a

，
解得

x= a 3 y= 2a 3

故N（

a

3

，

2

3

a）；
由题意知：N、N′关于x轴对称，那么N′（

a

3

，-

2a

3

）；
若点N′在抛物线的图象上，则有：
-（

a

3

）²-

2a

3

+a=-

2a

3

，
解得a=9．
故点N′恰好落在抛物线上时，a=9；

（3）分别过B、C、N作NC、BN、BC的平行线（如图），则四边形BP₁CN、四边形BCP₂N、四边形BCNP₃都是平行四边形；
易知B（-a，0），C（a，0），N（

a

3

，

2a

3

）；
故P₁（-

1

3

a，-

2

3

a），P₂（

7

3

a，

2

3

a），
P₃（-

5

3

a，

2

3

a）；
把P₁代入抛物线的解析式中，得：
-（-

1

3

a）²-2（-

1

3

a）+a=-

2

3

a，
解得a=21；
把P₂代入抛物线的解析式中，得：
-（

7

3

a）²-2×

7

3

a+a=

2

3

a，
解得a=-

39

49

；
由于a＞0，
故此种情况不成立；
把P₃代入抛物线的解析式中，得：
-（-

5

3

a）²-2（-

5

3

a）+a=

2

3

a，
解得a=

33

25

；
综上所述，存在符合条件的P点，且此时a的值为：a₁=

33

25

，a₂=21．

点评：此题考查了一次函数解析式的确定、关于x轴对称的点的坐标特征、函数图象上的点的坐标意义以及平行四边形的判定和性质等知识．（3）题中，一定要把所有的情况都考虑到，做到不漏解．