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17.如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点P为射线BD,CE的交点.
(1)求证:BD=CE;
(2)若AB=2,AD=1,把△ADE绕点A旋转,当∠EAC=90°时,求PB的长;

分析 (1)依据等腰三角形的性质得到AB=AC,AD=AE,依据同角的余角相等得到∠DAB=∠CAE,然后依据SAS可证明△ADB≌△AEC,最后,依据全等三角形的性质可得到BD=CE;
(2)分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形,然后再证明△PEB∽△AEC,最后依据相似三角形的性质进行证明即可.

解答 解:(1)∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,
∴AB=AC,AD=AE,∠DAB=∠CAE.
∴△ADB≌△AEC.
∴BD=CE.
(2)解:①当点E在AB上时,BE=AB-AE=1.

∵∠EAC=90°,
∴CE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$.
同(1)可证△ADB≌△AEC.
∴∠DBA=∠ECA.
∵∠PEB=∠AEC,
∴△PEB∽△AEC.
∴$\frac{PB}{AC}$=$\frac{BE}{CE}$.
∴$\frac{PB}{2}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$.
∴PB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
②当点E在BA延长线上时,BE=3.

∵∠EAC=90°,
∴CE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$.
同(1)可证△ADB≌△AEC.
∴∠DBA=∠ECA.
∵∠BEP=∠CEA,
∴△PEB∽△AEC.
∴$\frac{PB}{AC}$=$\frac{BE}{CE}$.
∴$\frac{PB}{2}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$.
∴PB=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$.
综上所述,PB的长为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$\frac{6\sqrt{5}}{5}$.

点评 本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定,证明得△PEB∽△AEC是解题的关键.

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