Question

如图，已知在锐角△ABC中，∠ABC=2∠C，∠ABC的平分线与AD垂直于D，求证：AC=2BD．

Answer 1

证明：在BD上截取DF=DE，连接AF，
∵DF=DE，AD⊥BF，AD=AD，
∴△ADF≌△ADE，
∴AE=AF，∠AFD=∠AEF
∵∠ABC=2∠C，BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠C=∠EBC，
∵∠AFE=∠ABE+∠BAF，∠AEF=∠EBC+∠C
∴∠FAB=∠ABF，
∴AF=BF（等角对等边），
∴AE=BF．
∴AC=AE+EC
=BF+BE=（BD-DF）+（BD+DE）
=2BD．
分析：根据题意在BD上截取DF=DE，连接AF，结合题意推出△ADF≌△ADE，即得AE=AF，∠AFD=∠AEF，推出AF=BF，即可推出结论．
点评：本题主要考查等腰三角形的性质、外角的性质、全等三角形的判定和性质，关键在于求证△ADF≌△ADE，∠FAB=∠ABF．