Question

23、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB上一动点（与A、B不重合），将CD绕C点逆时针方向旋转90°至CE，连接BE．
（1）求证：∠EBC=∠A；
（2）D点在移动的过程中，四边形CDBE是否能成为特殊四边形？若能，请指出D点的位置并证明你的结论；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）CD绕C点逆时针方向旋转90°至CE，根据旋转的性质得CE=CD，∠ECD=90°，而∠BCA=90°，AC=BC，得∠ECB=∠DCA，则
△ECB≌△DCA，得到∠EBC=∠A；
（2）当D点为AB的中点时，而∠C=90°，AC=BC，则CD⊥AB，即∠CDB=90°，由（1）得∠EBC=∠A，而∠CBA=∠A=45°，
得到四边形CDBE为矩形，由CD=CE，得到四边形CDBE能成为正方形．

解答：证明：（1）∵CD绕C点逆时针方向旋转90°至CE，
∴CE=CD，∠ECD=90°，
而∠BCA=90°，AC=BC，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB≌△DCA，
∴∠EBC=∠A；

（2）当D点为AB的中点时，四边形CDBE能成为正方形．
理由如下：
当D点为AB的中点时，而∠C=90°，AC=BC，
∴CD⊥AB，即∠CDB=90°，
由（1）得∠EBC=∠A，
而∠CBA=∠A=45°，
∴∠EBA=90°，
∴四边形CDBE为矩形，
又∵CD=CE，
∴四边形CDBE能成为正方形．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质以及正方形的判定方法．