Question

3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c的开口向上，且经过点A（0，$\frac{3}{2}$）
（1）若此抛物线经过点B（2，-$\frac{1}{2}$），且与x轴相交于点E，F．
①填空：b=-2a-1（用含a的代数式表示）；
②当EF²的值最小时，求抛物线的解析式；
（2）若a=$\frac{1}{2}$，当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b的值．

Answer 1

分析 （1）①由A点坐标可求得c，再把B点坐标代入可求得b与a的关系式，可求得答案；②用a可表示出抛物线解析式，令y=0可得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可用a表示出EF的值，再利用函数性质可求得其取得最小值时a的值，可求得抛物线解析式；
（2）可用b表示出抛物线解析式，可求得其对称轴为x=-b，由题意可得出当x=0、x=1或x=-b时，抛物线上的点可能离x轴最远，可分别求得其函数值，得到关于b的方程，可求得b的值．

解答 解：
（1）①∵抛物线y=ax²+bx+c的开口向上，且经过点A（0，$\frac{3}{2}$），
∴c=$\frac{3}{2}$，
∵抛物线经过点B（2，-$\frac{1}{2}$），
∴-$\frac{1}{2}$=4a+2b+$\frac{3}{2}$，
∴b=-2a-1，
故答案为：-2a-1；
②由①可得抛物线解析式为y=ax²-（2a+1）x+$\frac{3}{2}$，
令y=0可得ax²-（2a+1）x+$\frac{3}{2}$=0，
∵△=（2a+1）²-4a×$\frac{3}{2}$=4a²-2a+1=4（a-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{3}{4}$＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，设为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=$\frac{2a+1}{a}$，x₁x₂=$\frac{3}{2a}$，
∴EF²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=$\frac{4{a}^{2}-2a+1}{{a}^{2}}$=（$\frac{1}{a}$-1）²+3，
∴当a=1时，EF²有最小值，即EF有最小值，
∴抛物线解析式为y=x²-3x+$\frac{3}{2}$；
（2）当a=$\frac{1}{2}$时，抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+bx+$\frac{3}{2}$，
∴抛物线对称轴为x=-b，
∴只有当x=0、x=1或x=-b时，抛物线上的点才有可能离x轴最远，
当x=0时，y=$\frac{3}{2}$，当x=1时，y=$\frac{1}{2}$+b+$\frac{3}{2}$=2+b，当x=-b时，y=$\frac{1}{2}$（-b）²+b（-b）+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$b²+$\frac{3}{2}$，
①当|2+b|=3时，b=1或b=-5，且顶点不在范围内，满足条件；
②当|-$\frac{1}{2}$b²+$\frac{3}{2}$|=3时，b=±3，对称轴为直线x=±3，不在范围内，故不符合题意，
综上可知b的值为1或-5．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数的性质、一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值、分类讨论思想等知识．在（1）①中注意利用待定系数法的应用，在（1）②中用a表示出EF²是解题的关键，注意一元二次方程根与系数的关系的应用，在（2）中确定出抛物线上离x轴距离可能最远的点是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．