Question

如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，过点A作AE⊥CD于点E，交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AD于点G． 
（1）求证：BF=AE+FG；
（2）若AB=2，求四边形ABFG的面积．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连结AC，交BD于点O，根据已知条件和菱形的性质看证明△ABO≌△DAE和△AOF≌△AGF，由全等三角形的性质即可证明BF=AE+FG；
（2）首先求出△ABD的面积是

3

，再求出RT△DFG的面积是

3

6

，进而可求出四边形ABFG的面积是

5 3

6

．

解答：（1）证明：连结AC，交BD于点O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC，∠4=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ADC，AC⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴∠2=∠4=

1

2

∠ABC=30°，
又∵AE⊥CD于点E，
∴∠AED=90°，
∴∠1=30°，
∴∠1=∠4，∠AOB=∠DEA=90°，
∴△ABO≌△DAE，
∴AE=BO．
又∵FG⊥AD于点G，
∴∠AOF=∠AGF=90°，
又∵∠1=∠3，AF=AF，
∴△AOF≌△AGF，
∴FG=FO．
∴BF=AE+FG．

（2）解：∵∠1=∠2=30°，
∴AF=DF．
又∵FG⊥AD于点G，
∴AG=

1

2

AD，
∵AB=2，
∴AD=2，AG=1．
∴DG=1，AO=1，FG=

3

3

，BD=2

3

，
∴△ABD的面积是

3

，RT△DFG的面积是

3

6

∴四边形ABFG的面积是

5 3

6

．

点评：本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及三角形的面积公式的运用，解题额关键是把四边形ABFG的面积分割为两个三角形的面积．