Question

如图，菱形铁片ABCD的对角线AC，DB相交于点E，sin∠DAC=

3

5

，AE、DE的长是方程x²-140x+k=0的两根．
（1）求AD的长；
（2）如果M，N是AC上的两个动点，分别以M，N为圆心作圆，使⊙M与边从AB、AD相切，⊙N与边BC，CD相切，且⊙M与⊙N相外切，设AM=t，⊙M与⊙N面积的和为S，求S关于t的函数关系式；
（3）某工厂要利用这种菱形铁片（单位：mm）加工一批直径为48mm，60mm，90mm的圆形零件（菱形铁片上只能加工同一直径的零件，不计加工过程中的损耗），问加工哪种零件能最充分地利用这种铁片并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由图可知：AD是Rt△ADE中斜边长，则求AD根据sin∠DAC=

3

5

，可以求出DE的长，再根据根与系数的关系即可求得DE的长度；
（2）分别过点M作MF⊥AD于F，过点N作NG⊥CD于G，在Rt△AMF中，根据sin∠DAC，可以用t来表示FM，再根据∠DCA=∠DAC，则sin∠DAC=sin∠DA，则可以用NG来表示NC．又知⊙M与⊙N相外切，则MN=MF+NG．根据AC=AM+NC+MN，即可求得NG的值，最后用t来表示S；
（3）如果将这块科加工成一个最大的圆形零件，设它的半径为R₁，由图形的轴对称性知，圆心必在对角线交点E处，则可以求得R₁的值，则加工成直径为90mm的圆形零件只能加工1个，而加工成直径为48mm圆形零件可有4个；如若将这块料加工成两个最大圆形零件，并设这时圆半径为R₂，那么由对称性知，这两个圆必是△ADB和△DBC的内切圆，则R₂=

AC•BD

2(AD+AB+BD)

=30（mm），所以可以加工直径为60mm的圆形零件2个；所以加工直径为48mm的圆形零件，最能充分利用这块材料．

解答：解：（1）∵ABCD是菱形
∴AC、DB垂直平分
∵sin∠DAC=

3

5

即

DE

AD

=

3

5

设DE=3a，则AD=5a
Rt△ADE中
∵DE=3a
∴AD=5a
∴AE=

(5a)2-(3a)2

=4a
又∵AE，DE是方程x²-140x+k=0的两根，
∴根据根与系数的关系可得：4a+3a=140
解得a=20
∴AD=5a=100

（2）过点M作MF⊥AD于F，过点N作NG⊥CD于G
在Rt△AMF中，
sin∠DAC=

3

5

=

MF

AM

∴FM=

3

5

t
∵CD=AD，∠DCA=∠DAC
在Rt△CGN中，
sin∠DCA=

NG

CN

=

3

5

∴NC=

5

3

NG
又AC=2AE=2×4×20=160
∵⊙M与⊙N相外切
∴MN=MF+NG=

3

5

t+NG
∴t+

3

5

t+NG+

5

3

NG=160
解得NG=60-

3

5

t
根据题意，
S=π（

3

5

t）²+π（60-

3

5

t）²
即S=

18

25

πt²-72πt+3600π

（3）设它的半径为R₁，由图形的轴对称性知，圆心必在对角线交点E处，则4S_△AED=S_菱形ABCD
∴4AD•R₁=AC•BD
∴R₁=

AC•BD

4AD

=48（mm）
对照条件，则加工成直径为90mm的圆形零件只能加工1个，而加工成直径为48mm圆形零件可有4个．
如若将这块料加工成两个最大圆形零件，并设这时圆半径为R₂，那么由对称性知，这两个圆必是△ADB和△DBC的内切圆，则2（ AD•R₂+AB•R₂+•BD•R₂）=AC•BD，
∴R₂=

AC•BD

2(AD+AB+BD)

=30（mm）．
这时正好可加工直径为60mm的圆形零件2个．
如若加工三个最大圆形零件，这时用料不合理，显然不可取．
若加工成4个最大圆形零件，答案前已得出．
如果加工个数更多的话，直径太小，已不合要求．
所以加工直径为48mm的圆形零件，最能充分利用这块材料．

点评：此题主要考查学生对菱形的性质及解直角三角形等知识点的理解及运用．