Question

【题目】如图，四边形ABCD中，，，，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．

（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；

（2）若，求四边形ABCF的周长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）100＋.

【解析】

（1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE＝∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FED全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；

（2）根据对角线互相垂直的四边形是菱形可得四边形BDFC是菱形，可求BD的长；再根据勾股定理可求AB的长，根据周长的定义可求四边形ABCF的周长．

（1）证明：∵∠A＝∠ABC＝90°，

∴BC∥AD，

∴∠CBE＝∠DFE，

∵E是边CD的中点，

∴CE＝DE，

在△BEC与△FED中，，

∴△BEC≌△FED（AAS），

∴BE＝FE，

又∵CE＝DE，

∴四边形BDFC是平行四边形；

（2）解：∵BF⊥CD，四边形BDFC是平行四边形，

∴四边形BDFC是菱形，

∴BD＝DF＝CF＝BC，

∵AD＝10，AF＝40，

∴DF＝4010＝30，

∴BD＝DF＝CF＝BC＝30，

∴在Rt△BAD中，AB＝，

∴四边形ABCF的周长为：40＋30×2＋＝100＋．