(本小题满分12分)
如图,在平面直角坐标系中,△ABC的A、B两个顶点在x轴上,顶点C在y轴的负半轴上.已知,,△ABC的面积,抛物线
经过A、B、C三点。
【小题1】(1)求此抛物线的函数表达式;
【小题2】(2)设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点,过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F,过点F作FG垂直于x轴于点G,再过点E作EH垂直于x轴于点H,得到矩形EFGH.则在点E的运动过程中,当矩形EFGH为正方形时,求出该正方形的边长;
【小题3】(3)在抛物线上是否存在异于B、C的点M,使△MBC中BC边上的高为?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【小题1】解:(1)∵,设,则
∴
又,∴
∵
∴,即。
而,∴。
∴,
∴△ABC三个顶点的坐标分别是
,,
∵抛物线经过A、B、C三点,
∴设,把代入得
∴此抛物线的函数表达式为
【小题2】(2)设点E的坐标为,
∵点E在Y轴右侧的抛物线上,∴。
有抛物线的对称性,知点F与点E关于抛物线的对称轴x=2对称,
易得点F的坐标为。
要使矩形EFGH能成为正方形,有,
则
∴ ①
或 ②
由①得,,解得(舍去)
由②得,,解得(舍去)
当时,
此时正方形EFGH的边长为。
当时,
此时正方形EFGH的边长为。
∴当矩形EFGH为正方形时,该正方形的边长为或
【小题3】(3)假设存在点M,使△MBC中BC边上的高为。
∴M点应在与直线BC平行,且相距的两条平行直线和上。
由平行线的性质可得:和与y轴的交点到直线BC的距离也为。
如图,设与y轴交于P点,过P作PQ与直线BC垂直,垂足为点Q,
∵,
∴∠OBC=∠OCB=45°
在Rt△PQC中,,∠PCQ=∠OCB=45°
∴由勾股定理,得
∴直线与y轴的交点坐标为P(0,9)
同理可求得:与y轴交点坐标为,
易知直线BC的函数表达式。
∴直线和的函数表达式分别为。
根据题意,列出方程组:①,②
由①得,,解得;
由②得,
∵△="-31<0"
∴此方程无实数根。
∴在抛物线上存在点M,使△MBC中BC边上的高为,其坐标分别为:
另解:易求直线BC的表达式为:
整理得
设
由点到直线的距离得
解得
解析
科目:初中数学 来源:2011-2012学年九年级第二次模拟考试数学卷 题型:解答题
(本小题满分12分)
如图,反比例函数的图象经过A、B两点,根据图中信息解答下列问题:
1.(1)写出A点的坐标;
2.(2)求反比例函数的解析式;
3.(3)若点A绕坐标原点O旋转90°后得到点C,请写出点C的坐标;并求出直线BC的解析式.
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科目:初中数学 来源:2011-2012年河北省衡水市五校九年级第三次联考数学卷 题型:解答题
(本小题满分12分)
如图(1),△ABC与△EFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,AB=EF=9,∠BAC=∠DEF=90°,固定△ABC,将△EFD绕点A 顺时针旋转,当DF边与AB边重合时,旋转中止。不考虑旋转开始和结束时重合的情况,设DE、DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G、H点,如图(2)。
1.(1)问:始终与△AGC相似的三角形有 及 ;
2.(2)设CG=x,BH=y,求y关于x的函数关系式(只要求根据2的情况说明理由);
3.(3)问:当x为何值时,△AGH是等腰三角形?
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科目:初中数学 来源:2011-2012年河北省衡水市五校九年级第三次联考数学卷 题型:解答题
(本小题满分12分)某班同学到野外活动,为测量一池塘两端A、B的距离,设计了几种方案,下面介绍两种:(I)如图(1),先在平地取一个可以直接到达A、B的点C,并分别延长AC到D,BC到E,使DC=AC,BC=EC,最后测出DE的距离即为AB的长。(II)如图(2),先过B点作AB的垂线BF,再在BF上取C、D两点,使BC=CD,接着过点D作BD的垂线DE,交AC的延长线于E,则测出DE的长即为AB的距离。阅读后回答下列问题:
1.(1)方案(I)是否可行?为什么?
2.(2)方案(II)是否切实可行?为什么?
3.(3)方案(II)中作BF⊥AB,ED⊥BF的目的是 ;若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°,方案(II)是否成立?
4.(4)方案(II)中,若使BC=n·CD,能否测得(或求出)AB的长?理由是 ,若ED=m,则AB= 。
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科目:初中数学 来源:2011-2012年江苏GSJY八年级第二次学情调研考试数学卷 题型:解答题
(本小题满分12分)
1. (1)观察发现
如(a)图,若点A,B在直线同侧,在直线上找一点P,使AP+BP的值最小.
做法如下:作点B关于直线的对称点,连接,与直线的交点就是所求的点P
再如(b)图,在等边三角形ABC中,AB=2,点E是AB的中点,AD是高,在AD上找一点P,使BP+PE的值最小.
做法如下:作点B关于AD的对称点,恰好与点C重合,连接CE交AD于一点,则这点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为 . (2分)
2.(2)实践运用
如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M、N分别是边AB、BC的中点,求PM+PN的最小值。(5分)
3.(3)拓展延伸
如(d)图,在四边形ABCD的对角线AC上找一点P,使∠APB=∠APD.保留作图痕迹,不必写出作法. (5分)
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科目:初中数学 来源:2014届湖北省孝感市七年级下学期期中考试数学卷 题型:解答题
.(本小题满分12分)
如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线。
(1)∠ABE=15°,∠BAD=40°,求∠BED的度数;
(2)在△BED中作BD边上的高;
(3)若△ABC的面积为40,BD=5,则△BDE 中BD边上的高为多少?
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