Question

12．已知四边形ABCD，四边形DEFG都是正方形，H是BF中点，I是AG中点，求证：AG=2HI．

Answer 1

分析 首先连接GH并延长至K，令GH=HK，延长EF交AB于M，连接AK，BK，得出△FGH≌△BKH（SAS），再得出△ADG≌△ABK（SAS），进而由中位线可知：IH=$\frac{1}{2}$AK=$\frac{1}{2}$AG，即可得出答案．

解答 证明：连接GH并延长至K，令GH=HK，延长EF交AB于M，连接AK，BK，
在△FGH和△BKH中
∵$\left\{\begin{array}{l}{GH=HK}\\{∠GHF=∠KHB}\\{HF=HB}\end{array}\right.$，
∴△FGH≌△BKH（SAS），
∴∠GFH=∠KBH，FG=BK=DG，
设∠MFB=α，∠FBM=β，
∴∠EMA=∠MFB+∠FBM=α+β，
∵∠DEM=∠DAB=90°，
∴∠EMA=∠EDA=α+β，
∴∠ADG=90°-∠EDA=90°-α-β，
∵∠GFM=90°，∴∠GFH=90°-α=∠KBH，
∴∠ABK=∠KBH-∠FBM=90°-α-β=∠ADG，
在△ADG和△ABK中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ADG=∠ABK}\\{DG=BK}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ABK（SAS），
∴AG=AK，
∵I为AG中点，H为GK中点，由中位线可知：IH=$\frac{1}{2}$AK=$\frac{1}{2}$AG，
∴AG=2HI．

点评 此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△ADG≌△ABK是解题关键．