Question

已知正方形ABCD的边长为

2

，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．
（1）如图1，当P点在线段AB上时，试说明四边形PEOF是矩形；
（2）如图1，当点P在线段AB上时，求PE+PF的值；
（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE-PF的值．

Answer 1

分析：（1）根据垂直的定义可得∠PEO=∠PFO=90°，再根据正方形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，从而得到∠AOF=90，然后根据有三个角是直角的四边形是矩形判定即可；
（2）先根据正方形的性质求出对角线的长，再根据正方形的对角线互相平分求出OB，然后根据矩形的对边相等可得PE=OF，再求出∠ABO=∠BPF，根据等角对等边可得PF=BF，然后求出PE+PE=OB，从而得解；
（3）与（2）同理求出PE=OF，PF=BF，再根据PE-PF=OF-BF=OB解答．

解答：解：（1）∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠PFO=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOF=90°，
∴四边形PEOF是矩形；

（2）在正方形ABCD中，∠BAC=90°，AB=AD=

2

，OB=OD=

1

2

BD，
∴BD=

AB2+AD2

=

( 2 )2+( 2 )2

=2，
∴BO=

1

2

BD=

1

2

×2=1，
由（1）可知，四边形PEOF是矩形，
∴PE=OF，
∵∠ABO=45°，∠PFB=90°，
∴∠BPF=45°，
∴∠ABO=∠BPF，
∴PF=BF，
∴PE+PF=OF+BF=BO=1；

（3）同理，PE=OF，PF=BF，
∴PE-PF=OF-BF=OB=1．

点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，以及勾股定理的应用，熟练掌握正方形的四条边都相等，对角线互相垂直平分，对角线平分一组对角的性质是解本题的关键．