Question

【题目】如图，直线l：y＝﹣2x+m与x轴交于点A（﹣2，0），抛物线C1：y＝x2+4x+3与x轴的一个交点为B（点B在点A的左侧），过点B作BD垂直x轴交直线l于点 D．

（1）求m的值和点B的坐标；

（2）将△ABD绕点A顺时针旋转90°，点B，D的对应点分别为点E，F．

①点F的坐标为　 　；

②将抛物线C1向右平移使它经过点F，此时得到的抛物线记为C2，直接写出抛物线C2的表达式．

Answer 1

【答案】（1）m＝﹣4，点B的坐标为（﹣3，0）；（2）①（0，1）；②y＝x2﹣2x+1或y＝x2+2x+1．

【解析】

（1）由点A的坐标，利用待定系数法即可求出m的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征结合点B在点A的左侧，即可求出点B的坐标；

（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点D的坐标，进而可得出BD，AB的值．

①依照题意画出图形，由EF＝BD＝2，OF＝AE＝AB＝1可得出点F在y轴正半轴上，进而可求出点F的坐标；

②利用配方程法将抛物线C1的表达式变形为顶点式，根据平移的性质可设抛物线C2的表达式为y＝（x+m）2﹣1，由点F的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线C2的表达式，此题得解．

解：（1）将A（﹣2，0）代入y＝﹣2x+m，得：0＝﹣2×（﹣2）+m，

解得：m＝﹣4．

当y＝0时，有x2+4x+3＝0，

解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1，

又∵点B在点A的左侧，

∴点B的坐标为（﹣3，0）．

（2）当x＝﹣3时，y＝﹣2x﹣4＝2，

∴点D的坐标为（﹣3，2），

∴BD＝2，AB＝1．

①依照题意画出图形，则EF＝BD＝2，OF＝AE＝AB＝1，

又∵点A的坐标为（﹣2，0），

∴点F在y轴正半轴上，

∴点F的坐标为（0，1）．

②∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，

∴设平移后得到的抛物线C2的表达式为y＝（x+m）2﹣1．

将F（0，1）代入y＝（x+m）2﹣1，得：1＝（0+m）2﹣1，

解得：m1＝ ，m2＝﹣，

∴抛物线C2的表达式为y＝（x﹣）2﹣1或y＝（x+）2﹣1，即y＝x2﹣2x+1或y＝x2+2x+1．