Question

7．在平面直角坐标系中，M（3，0）、N（-1，0）、C（0，1）．若点A在线段MN上运动，△ABC是直角三角形．且∠ACB=90°，
①当∠B=45°时（如图1），画出点B的运动路径，并求其路径的长；
②当∠B=30°时（如图2），直接写出点B的运动路径的长．

Answer 1

分析 （1）先判断出△AOC≌△CDB，进而得出BD=1，即可得出点B是x=1的直线上的一段线段，当a=-1和a=3时，确定出点B的坐标即可得出结论；
（2）先判断出△AOC≌△CDB，进而得出BD=$\sqrt{3}$，即可得出点B是x=$\sqrt{3}$的直线上的一段线段，当m=-1和m=3时，确定出点B的坐标即可得出结论．

解答 解：①如图1，过点B作BD⊥y轴于D，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAC=45°=∠ABC，
∴AC=AB，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠OCA=90°，
∵∠OAC+∠OCA=90°，
∴∠OAC=∠DCB，
在△AOC和△CDB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOC=∠CDB=90°}\\{∠OAC=∠DCB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△CDB，
∴OA=CD，OC=BD，
设A（a，0）（-1≤a≤3），
∴OA=|a|，
∵C（0，1），
∴OC=1，
∴OD=1+a，
∴BD=1，
∴点B在运动过程中，横坐标始终不变，
∴点B是x=1的直线上的一段线段，
当a=-1时，点B在（1，0），
当a=3时，点B在（1，4），
∴点B是从（1，0）到（1，4）之间的一段线段，路径长为4；
②如图②，过点B作BD⊥y轴于D，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠OCA=90°，
∵∠OAC+∠OCA=90°，
∴∠OAC=∠DCB，
∵∠AOC=∠CDB，
∴△AOC∽△CDB，
∴$\frac{OA}{CD}$=$\frac{OC}{BD}$=$\frac{AC}{BC}$，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴BC=$\sqrt{3}$AC，
设A（m，0），
∴OA=|m|，
∵OC=1，
∴$\frac{|m|}{CD}=\frac{1}{BD}=\frac{AC}{\sqrt{3}AC}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴CD=$\sqrt{3}$|m|，BD=$\sqrt{3}$，
∴点B在运动过程中，横坐标始终不变，
∴点B是x=$\sqrt{3}$的直线上的一段线段，
如图3，
当m=-1时，CD=$\sqrt{3}$，此时，点B在x轴下方，
∴点B运动在（$\sqrt{3}$，1-$\sqrt{3}$），
当m=3时，此时，点B在x轴上方，
∴点B运动在B'（$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$+1），
∴点B是从（$\sqrt{3}$，1-$\sqrt{3}$）到（$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$+1）之间的一段线段，路径长为3$\sqrt{3}$+1-（1-$\sqrt{3}$）=4$\sqrt{3}$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是得出点B的横坐标是定值，也是解本题的难点，是一道基础题目．