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    如图（1）至图（3），C为定线段AB外一动点，以AC、BC为边分别向外侧作正方形CADF和正方形CBEG，分别作DD1⊥AB、EE1⊥AB，垂足分别为D1、E1．当C的位置在直线AB的同侧变化过程中，
    （1）如图（1），当∠ACB=90°，AC=4，BC=3时，求DD1+EE1的值；
    （2）求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，DD1+EE1的值为定值；
    （3）求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点．
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    分析：（1）由正方形与垂线的性质，易证得：△DD1A∽△ACB，△EE1B∽△BCA，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得DD1与EE1的长，则可求得DD1+EE1的值；
    （2）定线段AB长为定值；猜想DD1+EE1=AB；过点C作CH⊥AB，垂足为H；再通过两对全等三角形来证明DD1+EE1=AB即可；
    （3）利用“梯形的中位线长等于两底和的一半”，设M为DE的中点，Q为D1E1的中点，MQ=
    1
    2
    AB且MQ⊥AB，特殊地，当四边形DD1E1E为矩形时，以上结论仍然成立．又因为可证明D1A=E1B，所以D1E1的中点就是AB的中点．所以，不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点，此定点M恒在“点C的同侧，与AB的中点Q距离为
    1
    2
    AB    长的点上”．
    解答：解：（1）∵DD1⊥AB、EE1⊥AB，
    ∴∠DD1A=∠EE1B=∠ACB=90°，
    ∵四边形ACFD与BEGC是正方形，
    ∴∠DAC=∠CBE=90°，
    ∴∠DAD1+∠CAB=∠CAB+∠CBA=∠CBA+∠EBE1=90°，
    ∴∠DAD1=∠ABC，∠EBE1=∠BAC，
    ∴△DD1A∽△ACB，△EE1B∽△BCA，
    ∴
    DD1
    4
    =
    4
    5
    ，
    EE1
    3
    =
    3
    5
    ，
    ∴DD1=
    16
    5
    ，EE1=
    9
    5
    ；
    ∴DD1+EE1=5；

    （2）过点C作CK⊥AB于K，
    ∵DD1⊥AB、EE1⊥AB，
    ∴∠DD1A=∠EE1B=∠AKC=∠BKC=90°，
    ∴∠DAD1+∠CAB=∠CAE+∠ACK=∠CBK+∠BCK=∠CBK+∠精英家教网EBE1=90°，
    ∴∠DAD1=∠ACK，∠EBE1=∠BCK，
    ∵AD=AC，BC=BE，
    ∴△ADD1≌△CAK，△EBE1≌△BCK，
    ∴DD1=AK，EE1=BK，
    ∴DD1+EE1=AB，
    ∴不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，DD1+EE1的值为定值；

    （3）设M为DE的中点，Q为D1E1的中点，精英家教网
    则：MQ=
    1
    2
    (DD1+EE1)=
    1
    2
    AB    且MQ⊥AB，
    当四边形DD1E1E为矩形时，以上结论仍然成立．
    ∴△ADD1≌△CAK，△EBE1≌△BCK，
    又∵D1A=CK=E1B，
    ∴D1E1的中点就是AB的中点．
    ∴不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点，
    ∴此定点M恒在“点C的同侧，与AB的中点Q距离为
    1
    2
    AB    长的点上”．
    点评：此题考查了相似三角形与全等三角形的判定与性质，正方形的性质，以及梯形中位线的性质等知识．此题综合性很强，注意数形结合思想的应用．
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    （2011•葫芦岛）如图（1）至图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，点B、C、E在同一条直线上．
    （1）已知：如图（1），AC=AB，AD=AE．求证：①CD=BE；②CD⊥BE．
    （2）如图（2），当AB=kAC，AE=kAD（k≠1）时，分别说出（1）中的两个
    ②
    ②
    结论是否成立，若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，小明将一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2）量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°再将这两张三角形纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）．

    小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮忙解决．

    1.（1）将图3中的△ABC沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；

    2.（2）将图3中的△ABC绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于G，若DG=kEG，求k的值；

    3.（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH．

     

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    科目：初中数学 来源：2011年重庆市石柱县九年级期末考试数学卷 题型：解答题

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    小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮忙解决．

    1.（1）将图3中的△ABC沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；

    2.（2）将图3中的△ABC绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于G，若DG=kEG，求k的值；

    3.（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH．

     

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    科目：初中数学 来源：2011年辽宁省葫芦岛市中考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图（1）至图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，点B、C、E在同一条直线上．
    （1）已知：如图（1），AC=AB，AD=AE．求证：①CD=BE；②CD⊥BE．
    （2）如图（2），当AB=kAC，AE=kAD（k≠1）时，分别说出（1）中的两个______结论是否成立，若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

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