Question

如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），可设抛物线解析式的交点式，再把C（0，-2）代入即可；
（2）∵△OAC是直角三角形，以A，P，M为顶点的三角形与其相似，由于点P可能在x轴的上方，或者下方，分三种情况，分别用相似比解答；
（3）过D作y轴的平行线交AC于E，将△DCA分割成两个三角形△CDE，△ADE，它们的底相同，为DE，高的和为4，就可以表示它们的面积和，即△DCA的面积，运用代数式的变形求最大值．

解答：解：（1）∵该抛物线过点C（0，-2），
设该抛物线的解析式为y=ax²+bx-2．
将A（4，0），B（1，0）代入，
得

16a+4b-2=0 a+b-2=0

，
解得

a=- 1 2 b= 5 2

，
∴此抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

5

2

x-2．

（2）存在．
如图，设P点的横坐标为m，
则点P的纵坐标为-

1

2

m2+

5

2

m-2，
当1＜m＜4时，
AM=4-m，PM=-

1

2

m2+

5

2

m-2，
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①当

PM

AM

=

OA

OC

=2时，△APM∽△ACO，
∴

|4-x|

|y|

=2，即|4-m|=2（-

1

2

m2+

5

2

m-2），
∴4-m=m²+5m-4，
∴m²-6m+8=0，
∴（m-2）（m-4）=0，
解得：m₁=2，m₂=4（舍去）
∴P（2，1）
②当

AM

PM

=

OC

OA

=

1

2

，△APM∽△CAO，
那么有：2|4-m|=-

1

2

m2+

5

2

m-2，
∴2（4-m）=-

1

2

m²+

5

2

m-2，
∴m²-9m+20=0，
∴（m-4）（m-5）=0，
解得：m₁=4（舍去），m₂=5（舍去），
∴当1＜m＜4时，P（2，1），
类似地可求出当m＞4时，P（5，-2），
当m＜1时，P（-3，-14），
当P，C重合时，△APM≌△ACO，P（0，-2）．
综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）或（0，-2）；

（3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-

1

2

t²+

5

2

t-2．
过D作y轴的平行线交AC于E．
由题意可求得直线AC的解析式为y=

1

2

x-2．
∴E点的坐标为（t，

1

2

t-2）．
∴DE=-

1

2

t²+

5

2

t-2-（

1

2

t-2）=-

1

2

t²+2t．
∴S_△DAC=

1

2

×（-

1

2

t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4．
∴当t=2时，△DAC面积最大．
∴D（2，1）．

点评：本题综合考查了抛物线解析式的求法，抛物线与相似三角形的问题，坐标系里表示三角形的面积及其最大值问题，要求会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形．