Question

【题目】已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝3CD，AB∥CD，CE∥DA，DF∥CB．

（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；

（2）填空：

①当四边形ABCD满足条件　 　时（仅需一个条件），四边形CDEF是矩形；

②当四边形ABCD满足条件　 　时（仅需一个条件），四边形CDEF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①AD＝BC；②AD⊥BC．

【解析】

（1）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形AECD和四边形BFDC都是平行四边形，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得CDEF是平行四边形．（2）①当AD＝BC时，四边形EFCD是矩形．理由是：对角线相等的平行四边形是矩形；②当AD⊥BC时，四边形EFCD是菱形．理由是：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

解：

（1）证明：∵AB∥CD，CE∥AD，DF∥BC，

∴四边形AECD和四边形BFDC都是平行四边形，

∴AE＝CD＝FB，

∵AB＝3CD，

∴EF＝CD，

∴四边形CDEF是平行四边形．

（2）解：①当AD＝BC时，四边形EFCD是矩形．

理由：∵四边形AECD和四边形BFDC都是平行四边形，

∴EC＝AD，DF＝BC，

∴EC＝DF，

∵四边形EFDC是平行四边形，

∴四边形EFDC是矩形．

②当AD⊥BC时，四边形EFCD是菱形．

理由：∵AD∥CE，DF∥CB，AD⊥BC，

∴DF⊥EC，

∵四边形EFCD是平行四边形，

∴四边形EFCD是菱形．

故答案为AD＝BC，AD⊥BC．