Question

如图，有两条笔直的公路（BD和EF，其宽度不计）从一块矩形的土地ABCD中穿过，已知：EF是BD的垂直平分线，有BD=400m，EF=300m，求这块矩形土地ABCD的面积．

Answer 1

分析：先根据△DOF≌△BOE中的等量关系与菱形的判定定理判定平行四边形BFDE是菱形，再利用Rt△DOF中的勾股定理求出DF=250，利用菱形的面积作为等量关系求出矩形的宽BC=240，利用Rt△BCF中勾股定理求FC=

BF2-BC2

=

2502-2402

=70，最后利用矩形的面积公式求面积即可．

解答：解：连接DE，BF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．∠ODF=∠OBE
∵EF垂直平分BD，
∴OD=OB
∴△DOF≌△BOE（ASA）
∴DF=BE
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵EF垂直平分BD，
FD=FB（线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴平行四边形BFDE是菱形
∴DF=BF=DE=EB，OE=OF．
在Rt△DOF中，DF=

OD2+OF2

=

( 1 2

( 1 2×

400)+

( 1 2×

300)2=250，
∴S_菱形DEBF=

1

2

BD•EF=DF•BC
∴

1

2

×400×300=250•BC
∴BC=240
在Rt△BCF中FC=

BF2-BC2

=

2502-2402

=70，
∴CD=DF+FC=250+70=320，
∴S_矩形ABCD=CD•BC=320×240=76800m²
答：这块矩形土地ABCD的面积为76800m²．

点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质在菱形，平行四边形中的运用．本题的解题关键是掌握菱形的性质和面积的两种求法以及线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等这些基本性质的灵活运用．