在正方形ABCD中,点E是BC边的中点,过B点作BG⊥AE于点G,交AC于H,交CD于点F。(1)求证:点F为边BC的中点;(2)如果正方形的边长为4,求CH的长度;(3)如果点M是BC上的一点,且AM=MC+CD,
探究∠MAD与∠BAE有怎样的数量关系,说明理由。
(1)证明:∵在正方形ABCD中,
∴AB=BC ∠ABC=∠BCD=90°
∵BG⊥AE
∴∠AGB=90°
∴∠ABG+∠BAG=90°
∠ABG+∠GBE=90°
∴ ∠BAG=∠GBE
∴△ABE≌△BCF
∴BE="CF"
∵点E是BC边的中点 ∴BE=BC
∴ CF=BC=CD
∴点F为边BC的中点
(2)∵ AB="BC=4" , ∠ABC =90° ∴AC=
∵在正方形ABCD中, ∴AB∥CD ∴CH:HA=CF:AB
由(1)知CF=AB ∴CH:HA=CF:AB=1:2
∴CH=AH=AC=
(3)∠MAD=2∠BAE 理由如下:
连接AF并延长交BC的延长线于点N,
∵点F为边BC的中点 ∴可证△ADF≌△NCF
∴CN=AD,∠N= ∠CAN
∵在正方形ABCD中, ∴AD=DC=DN,
∵ AM=MC+CD ∴MC+CN="MC+CD=NM"
∴AM=MN ∴∠N=∠MAN
∴∠MAD=2∠DAF
由(1)可知点F为CD的中点,
∴DF=BE ∠ABE=∠ADF=90° AB=AD
△ABE≌△ADF
∴∠DAF=∠BAE
∴∠MAD=2∠BAE
解析
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