Question

12．如图，BC=$\sqrt{3}$，以BC为边作矩形ABCD，使∠DBC=30°，得BD=2，再以BD为边作矩形BDD₁F，使∠DBD₁=30°，得BD₁=$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，…，依此法继续作下去，则BD₄的长为（　　）

• A． $\frac{16}{3}\sqrt{3}$
• B． $\frac{32}{9}$
• C． $\frac{{32\sqrt{3}}}{9}$
• D． $\frac{16}{3}$

Answer 1

分析 由BD₁=$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，利用矩形的性质，勾股定理可得到关于BD₂的方程即可求得BD₂，用同样的方法即可求得BD₃，BD₄的长．

解答 解：∵四边形BDD₁F是矩形，
∴∠BDD₁=90°，
∵∠DBD₁=30°，BD₁=$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，
∴设BD₂的长为x，则D₂D₁=$\frac{x}{2}$，
∴x²-（$\frac{x}{2}$）²=（$\frac{4}{3}\sqrt{3}$）²，
解得，x=$\frac{8}{3}$，
即BD₂=$\frac{8}{3}$，
同理，设BD₃为y，则D₃D₂=$\frac{y}{2}$，
∴y²-（$\frac{y}{2}$）²=（$\frac{8}{3}$）²，
解得，y=$\frac{16\sqrt{3}}{9}$，
即BD₃=$\frac{16\sqrt{3}}{9}$，
设BD₄的长为z，则D₃D₄=$\frac{z}{2}$，
∴z²-（$\frac{z}{2}$）²=（$\frac{16\sqrt{3}}{9}$）²，
解得，z=$\frac{32}{9}$，
故BD₄=$\frac{32}{9}$，
故选：B．

点评 本题主要考查矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，能利用方程的方法求解是解决本题的关键．