Question

现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB=4cm，BC=6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B′，过E作EF垂直B′C，交B′C于F．
（1）求AE、EF的位置关系；
（2）求线段B′C的长，并求△B′EC的面积．

Answer 1

分析：（1）由折线法及点E是BC的中点，可证得△B'EC是等腰三角形，再有条件证明∠AEF=90°即可得到AE⊥EF；
（2）连接BB′，通过折叠，可知∠EBB′=∠EB′B，由E是BC的中点，可得EB′=EC，∠ECB′=∠EB′C，从而可证△BB′C为直角三角形，在Rt△AOB和Rt△BOE中，可将OB，BB′的长求出，在Rt△BB′C中，根据勾股定理可将B′C的值求出，

解答：解：（1）由折线法及点E是BC的中点，
∴EB=EB′=EC，∠AEB=∠AEB′，
∴△B'EC是等腰三角形，
又∵EF⊥B′C
∴EF为∠B'EC的角平分线，即∠B′EF=∠FEC，
由①②得，∠AEF=90°，
即AE⊥EF；

（2）连接BB'交AE于点O，由折线法及点E是BC的中点，
∴EB=EB′=EC，
∴∠EBB′=∠EB′B，∠ECB′=∠EB′C；
又∵△BB'C三内角之和为180°，
∴∠BB'C=90°；
∵点B′是点B关于直线AE的对称点，
∴AE垂直平分BB′；
在Rt△AOB和Rt△BOE中，BO²=AB²-AO²=BE²-（AE-AO）²
将AB=4cm，BE=3cm，AE=5cm，
∴AO=

16

5

cm，
∴BO=

AB 2-AO 2

=

12

5

cm，
∴BB′=2BO=

24

5

cm，
∴在Rt△BB'C中，B′C=

BC 2-BB′ 2

=

18

5

cm，
由题意可知四边形OEFB′是矩形，
∴EF=OB′=

12

5

，
∴S△B′EC=

1

2

×B′C•EF=

1

2

×

18

5

×

12

5

=

108

25

．

点评：本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理勾股定理的和矩形的性质综合运用．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．