Question

【题目】对于某一函数给出如下定义：对于任意实数m， 当自变量x≥m时，函数y关于x的函数图象为，将G沿直线x=m翻折后得到的函数图象为，函数G的图象由和两部分共同组成，则函数G为原函数的“对折函数”，如函数y=x（x≥2）的对折函数为

（1）写出函数y =2x+1（x≥ 1）的对折函数；

（2）若函数y =2x2（x≥）的对折函数与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，求△ABC的周长；

（3）若点P(m，5)在函数y =4( x≥1)的对折函数的图象上，求m的值；

（4）当函数y=4(x≥n)的对折函数与x轴有不同的交点个数时，直接写出n的取值范围

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）m=4或6；（4）①当n<1时，有4个交点；②当n=1时，有3个交点；③当1<n<3时，函数与x轴有2个交点；④当n=3时，有3个交点；⑤当n>3时，无交点

【解析】

(1)利用对折函数的定义求解对折后的函数与轴的交点坐标，利用待定系数法求解即可；

(2)先求解对折函数的解析式，得到C的坐标，利用勾股定理可得答案；

(3)先求解对折函数的解析式，把P的坐标代入即可得到答案；

(4)根据拐点的纵坐标分情况讨论，即可得到对折函数的图像，根据图像可得答案．

(1)如图1，设对折点为A，则点A(1，3)，设对折图象与x轴的交点为A． B，

当y =2x+1=0时，x=时，即点B(，0)，则点C(，0)，

设直线AC为：

解得：

所以：直线AC的表达式为：y=2x+5，

故y=2x+1(x1)的对折函数为：

(2)由对折函数的定义得拐点坐标为： ，，

同理可得：函数y=2x2()的对折函数

点C(0，2)，

则AB=5，AC=，BC=，

则△ABC的周长为：

(3)令y=4=0，则x=1或3，如下图：即点A． B的坐标为(1，0)、(3，0)，

则对折后函数的顶点坐标为(3，4)，该函数表达式为：y=4，

即对折函数为

将点P(m，5)代入y=4得：

解得：（舍去）

将点P(m，5)代入y=4，

解得：（舍去）

综上：m=4或6

(4)①当n<1时，如图3:

此时x=n在点A(1，0)的左侧，

从图中可以看出：函数与x轴有4个交点(A、B． C． D)；

②当n=1时，x=n过点A，从图2可以看出：函数与x轴有3个交点；

③如图：同理：当1<n<3时，函数与x轴有2个交点；

④如图：同理：当n=3时，函数与x轴有3个交点；

⑤同理：当n>3时，无交点