Question

3．如图，将一张长方形大铁皮切割（切痕为虚线）成九块，其中有两块是边长都为a厘米的大正方形，两块是边长都为b厘米的小正方形，且a＞b．
（1）这张长方形大铁皮长为（2a+b）厘米，宽为（2b+a）厘米（用含a、b的代数式表示）；
（2）①求这张长方形大铁皮的面积（用含a、b的代数式表示）；
②若最中间的小长方形的周长为22厘米，大正方形与小正方形的面积之差为33厘米²，试求a和b的值，并求这张长方形大铁皮的面积；
（3）现要从切块中选择5块，恰好焊接成一个无盖的长方体盒子，共有哪几种方案可供选择（画出示意图）？按哪种方案焊接的长方体盒子的体积最大？试说明理由．（接痕的大小和铁皮的厚度忽略不计）

Answer 1

分析 （1）根据图形可知张长方形大铁皮长为（2a+b）cm，宽为（a+2b）cm；
（2）根据题意列出关于a与b的方程，联立求出a与b的值，根据长方形面积公式即可求出面积表达式；
（3）共有下列四种方案可供选择：作出图形即可，然后比较体积大小．

解答 解：（1）这张长方形大铁皮长为（2a+b）厘米，宽为（2b+a）厘米（用含a、b的代数式表示）；
故答案为：（2a+b）；（2b+a）；
（2）①根据题意得：（2a+b）（2b+a）=4ab+2a²+2b²+ab=5ab+2a²+2b²（平方厘米）；
②根据题意得：2（a+b）=22，a²-b²=33，
整理得：a+b=11，（a+b）（a-b）=33，
解得：a-b=3，
∴a=7，b=4，
∴5ab+2a²+2b²=140+98+32=270，
则这张长方形大铁皮的面积为270平方厘米；
（3）共有下列四种方案可供选择：

根据图形得：V₁=ab²，V₂=a²b，V₃=a²b，V₄=ab²，
∴V₁=V₄，V₂=V₃，
∴V₁-V₂=ab²-a²b=ab（b-a），
∵a＞b，
∴V₁=V₄＜V₂=V₃，
∴方案②与③的体积最大．

点评 本题考查了整式的混合运算，列代数式和二元一次方程组的运用，解答本题的关键是理解题意，列出等式方程．