请阅读下列材料:问题:如图1.在菱形ABCD和菱形BEFG中.点A.B.E在同一条直线上.P是线段DF的中点.连结PG.PC．若∠ABC=∠BEF=60°.探究PG与PC的位置关系及数量关系．小聪同学的思路是:延长GP交DC于点H.构造全等三角形.经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路.探究并解决下列问题:(1)直接写出上面问题中线段PG与PC� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG、PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及数量关系．
小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）直接写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及$\frac{PG}{PC}$的值；
（2）如图2，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG、PC，探究PG与PC的位置关系及数量关系；
（3）将图2中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转，原问题中的其他条件不变（如图3），你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

分析（1）延长GP交DC于H，先证明△DHP≌△FGP，得出HP=GP，DH=FG=BG，证出CH=CG，PG⊥PC，再求出∠CGP=30°，即可得出结论；
（2）延长GP交CD于H，可证△DPH≌△GPF，即可求得DH=FG，CH=CG，根据等腰三角形底边三线合一可得PC=PG，PC⊥PG；
（3）过点F作FH∥DC交CP的延长线于H，交CB的延长线于N，交BE于M，连接CG、HG，由ASA证得△CDP≌△FHP，得出CP=PH，CD=FH，再由SAS证得△CBG≌△FHG，得出CG=GH，∠BGC=∠FGH，证得△CGH是等腰直角三角形，即可得出结论．

解答解：（1）PG⊥PC，$\frac{PG}{PC}$=$\sqrt{3}$；
理由如下：延长GP交DC于H，如图1所示：
∵四边形ABCD和BEFG均为菱形，
∴DC=BC，GF=BG，DC∥AE∥GF，
∴∠HDP=∠GFP，∠DHP=∠FGP，
∵P是线段DF的中点，
∴DP=FP，
在△DHP和△FGP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HDP=∠GFP}\\{∠DHP=∠FGP}\\{DP=FP}\end{array}\right.$，
∴△DHP≌△FGP（AAS），
∴HP=GP，DH=FG=BG，
∴CH=CG，
∴CP⊥HG，即PG⊥PC，
∵∠ABC═60°，
∴∠HCG=180°-60°=120°，
∴∠CGP=$\frac{1}{2}$（180°-120°）=30°，
∴$\frac{PG}{PC}$=$\sqrt{3}$；
（2）PG⊥PC，PG=PC；理由如下：
延长GP交CD于H，如图2所示：
∵P是DF中点，
∴DP=FP，
∵点ABE在同一直线上，
∴DC∥GF，
∴∠FDC=∠GFP，
在△DPH和△GPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDC=∠GFP}\\{DP=FP}\\{∠DPH=∠FPG}\end{array}\right.$，
∴△DPH≌△GPF（ASA）
∴HP=GP，GF=DH，
∴CH=CG，
又∵∠HCG=90°，
∴RT△HCG中，P为HG中点，
∴PC=$\frac{1}{2}$GH=PG，PC⊥PG；
（3）在（2）中得到的两个结论不发生变化；理由如下：
过点F作FH∥DC交CP的延长线于H，交CB的延长线于N，交BE于M，
连接CG、HG，如图3所示：
则∠CDP=∠PFH，
在△CDP和△FHP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDP=∠PFH}\\{DP=PF}\\{∠CPD=∠FPH}\end{array}\right.$，
∴△CDP≌△FHP（ASA），
∴CP=PH，CD=FH，
∵∠BNM=∠MEF=90°，∠BMN=∠EMF，
∴∠NBM=∠EFM，
∵∠CBG+∠NBM=180°-90°=90°，
∠EFM+∠MFG=90°，
∴∠CBG=∠MFG，
在△CBG和△FHG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD=FH}\\{∠CBG=∠HFG}\\{BG=FG}\end{array}\right.$，
∴△CBG≌△FHG（SAS），
∴CG=GH，∠BGC=∠FGH，
∴∠CGH=∠BGC-∠HGB=∠FGH-∠HGB=∠BGF=90°，
∴△CGH是等腰直角三角形，
∴PG=PC，且PG⊥PC．

点评本题是四边形综合题目，考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质等知识；本题综合性强，难度较大，构造出全等三角形是解题的关键．

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