Question

如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，AD、BC的延长线相交于G．CE⊥AG于E，CF⊥AB于F．
（1）写出图中5组相等的线段（已知的相等线段除外）；
（2）选择（1）中所写出的一组相等线段，说明它们相等的理由．

Answer 1

解：（1）5组相等的线段有：CE=CF，DE=BF，AE=AB，GA=GB，DG=CG；

（2）证明：①∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵AB∥DC，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵CE⊥AG，CF⊥AB，
∴CE=CF，
②在Rt△CDE和Rt△BCF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△BCF（HL），
∴DE=BF，
③同理：Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AE=AF，
④∵梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，
∴∠GAB=∠GBA，
∴AG=BG，
⑤∵AD=BC，
∴DG=CG．
分析：（1）利用等腰梯形、等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质，可得图中5组相等的线段有：CE=CF，DE=BF，AE=AB，GA=GB，DG=CG；
（2）根据等腰三角形与平行线的性质，易得AC是∠DAB的角的平分线，根据角平分线的性质，可得CE=CF，易证得Rt△CDE≌Rt△BCF与Rt△ACE≌Rt△ACF，则可得DE=BF，AE=AF，由等腰梯形的性质，可得∠GAB=∠GBA，即可得AG=BG，继而可得DG=CG．
点评：此题考查等腰梯形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．