Question

如图，△ABC中，AC=BC，以BC上一点O为圆心、OB为半径作⊙O交AB于点D．已知经过点D的⊙O切线恰好经过点C．
（1）试判断CD与AC的位置关系，并证明；
（2）若△ACB∽△CDB，且AC=3，求圆心O到直线AB的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OD．易证△ABC∽△DBO，从而推出OD∥AC，得出CD⊥OD；
（2）由（1）得△ACB∽△CDB，得出∠A=∠B=∠DCB，再根据三角函数OB的值．做OE⊥DB，利用OE=OB求解．
解答：（1）解：CD与AC互相垂直．（1分）
证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∴∠A=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵⊙O与直线CD相切，
∴CD⊥OD，
∴CD⊥AC；

解：（2）∵△ACB∽△CDB且AC=BC，
∴CD=DB，
∴∠A=∠B=∠DCB，
又∵∠A+∠B+∠DCB+∠ACD=180°，∠ACD=90°，
∴∠A=∠B=∠DCB=30°，
在Rt△ACD和Rt△CDO中，OD=CD•tan∠DCB，CD=AC•tan∠A，
∴OB=OD=AC•tan∠A•tan∠DCB=，
过点O作OE⊥AB于E，则OE=OB=，即圆心O到直线AB的距离为．
点评：本题考查的是圆的切线性质以及相似三角形的判定定理，难度属中等．