Question

9．我们引入如下概念，
定义；到三角形的两条边的距离相等的点，叫做此三角形的准内心，举例：如图1，PE⊥BC，若PE=PD则P为△ABC的准内心
（1）填空；根据准内心的概念，图1中的点P在∠BAC的平分线上上．
（2）应用；如图2，△ABC中，AC=BC=13，AB=10，准内心P在AB上，求P到AC边的距离PD的长．
（3）探究；已知△ABC为直角三角形，AC=BC=6，∠C=90°，准内心P在△ABC的边上，试探究PC的长．

Answer 1

分析 （1）根据准内心的概念，即可判断．
（2）根据三线合一先证明PC是高是中线，再根据$\frac{1}{2}$•AC•PD=$\frac{1}{2}$•AP•PC，即可解决问题．
（3）分三种情形①点P在AB边上，②点P在AC边上，③点P在BC边上，分别讨论即可．

解答 解：（1）如图1中，

∵PE⊥BC，PD⊥AC，PE=PD，
∴点P在∠ACB的平分线上．
故答案为角平分线．

（2）如图2中，

∵点P是△ABC的准内心，
∴∠ACP=∠BCP，
∵CA=CB=13，
∴PC⊥AB．AP=PB=5，
∴PC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{P}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12．
∵$\frac{1}{2}$•AC•PD=$\frac{1}{2}$•AP•PC，
∴PD=$\frac{PA•CP}{AC}$=$\frac{60}{13}$，

（3）如图3中，

当点P在AB边上时，∵CA=CB=6，∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{C{A}^{2}+C{B}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∵点P是△ABC的准内心，
∴∠PCB=∠PCA，
∴PA=PB，
∴PC=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{2}$．
如图4中，当点P在AC边上时，作PE⊥AB于E，则AE=PE，设AE=PE=x．

∵点P是△ABC的准内心，
∴∠PBA=∠PBC，
∵PE⊥AB，PC⊥BC，
∴PE=PC=x，
∵AP+PC=6，
∴$\sqrt{2}$x+x=6，
x=6$\sqrt{2}$-6，
∴PC=6$\sqrt{2}$-6．
如图5中，

当点P在BC边上时，同理可得PC=6$\sqrt{2}$-6．

点评 本题考查角平分线的性质、勾股定理、三角形的准内心的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用面积法求高，学会分类讨论，属于中考常考题型．