分析 (1)连接OE、OB、OC.由题意可证明$\widehat{BE}=\widehat{CE}$,于是得到∠BOE=∠COE,由等腰三角形三线合一的性质可证明OE⊥BC,于是可证明OE⊥l,故此可证明直线l与⊙O相切;
(2)先由角平分线的定义可知∠ABF=∠CBF,然后再证明∠CBE=∠BAF,于是可得到∠EBF=∠EFB,最后依据等角对等边证明BE=EF即可;
(3)先求得BE的长,然后证明△BED∽△AEB,由相似三角形的性质可求得AE的长,于是可得到AF的长.
解答 解:(1)直线l与⊙O相切.
理由:如图1所示:连接OE、OB、OC.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAE.
∴$\widehat{BE}=\widehat{CE}$.
∴∠BOE=∠COE.
又∵OB=OC,
∴OE⊥BC.
∵l∥BC,
∴OE⊥l.
∴直线l与⊙O相切.
(2)∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠CBF.
又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE,
∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF.
又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF,
∴∠EBF=∠EFB.
∴BE=EF.
(3)由(2)得BE=EF=DE+DF=7.
∵∠DBE=∠BAE,∠DEB=∠BEA,
∴△BED∽△AEB.
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{BE}{AE}$,即$\frac{4}{7}=\frac{7}{AE}$,解得;AE=$\frac{49}{4}$.
∴AF=AE-EF=$\frac{49}{4}$-7=$\frac{21}{4}$.
点评 本题主要考查的是圆的性质、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、切线的判定,证得∠EBF=∠EFB是解题的关键.
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A. | ②④⑤⑥ | B. | ①③⑤⑥ | C. | ②③④⑥ | D. | ①③④⑤ |
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A. | 2π | B. | π | C. | $\frac{π}{3}$ | D. | $\frac{2π}{3}$ |
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