Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线C₁：y=x²+3先向右平移1个单位，再向下平移7个单位得到抛物线C₂．C₂的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线C₂的解析式；
（2）若抛物线C₂的对称轴与x轴交于点C，与抛物线C₂交于点D，与抛物线C₁交于点E，连结AD、DB、BE、EA，请证明四边形ADBE是菱形，并计算它的面积；
（3）若点F为对称轴DE上任意一点，在抛物线C₂上是否存在这样的点G，使以O、B、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵将抛物线C₁：y=x²+3先向右平移1个单位，再向下平移7个单位得到抛物线C₂，
∴抛物线C₁的顶点（0，3）向右平移1个单位，再向下平移7个单位得到（1，-4）．
∴抛物线C₂的顶点坐标为（1，-4）．
∴抛物线C₂的解析式为y=（x-1）²-4，
即y=x²-2x-3；

（2）证明：由x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∵点A在点B的左侧，
∴A（-1，0），B（3，0），AB=4．
∵抛物线C₂的对称轴为x=1，顶点坐标D为（1，-4），
∴CD=4．AC=CB=2．
将x=1代入y=x²+3得y=4，
∴F（1，4），CE=CD．
∴四边形ADBE是平行四边形．
∵ED⊥AB，
∴四边形ADBE是菱形．
S_菱形ADBE=2×

1

2

×AB×CE=2×

1

2

×4×4=16．

（3）存在．分OB为平行四边形的边和对角线两种情况：
①当OB为平行四边形的一边时，如图1，
设F（1，y），
∵OB=3，∴G₁（-2，y）或G₂（4，y）．
∵点G在y=x²-2x-3上，
∴将x=-2代入，得y=5；将x=4代入，得y=5．
∴G₁（-2，5），G₂（4，5）．
②当OB为平行四边形的一对角线时，如图2，
设F（1，y），OB的中点M，过点G作GH⊥OB于点H，
∵OB=3，OC=1，∴OM=

3

2

，CM=

1

2

．
∵△CFM≌△HGM（AAS），∴HM=CM=

1

2

．∴OH=2．
∴G₃（2，-y）．
∵点G在y=x²-2x-3上，
∴将（2，-y）代入，得-y=-3，即y=3．
∴G₃（2，-3）．
综上所述，在抛物线C₂上是否存在这样的点G，使以O、B、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形，点G的坐标为G₁（-2，5），G₂（4，5），G₃（2，-3）．