Question

12．如图，已知B（0，1），C（-2，0），过点B作AB⊥BC，使得AB=BC．
（1）求A点坐标；
（2）点P从B出发，以1个单位/秒的速度沿射线BA运动，运动时间为t秒，请用含有t的式子表示△BCP的面积S；
（3）在（2）的条件下，射线BP交x轴于点F，当x轴平分∠BCP时，CF=$\frac{5}{2}$，S=$\frac{10}{3}$，求此时t值及此时P点坐标．

Answer 1

分析 （1）过A点作AE⊥y轴垂足为点E，根据全等三角形的判定证出△BOC≌△EA，再根据全等三角形的性质得出BE=OC，AE=OB，解答即可；
（2）先根据勾股定理求出BC，即可求出△BCP的面积S；
（3）把S=$\frac{10}{3}$代入（2）中的解析式即可求得t的值，证明△OCB≌△OCD，即可求出D的坐标，然后根据待定系数法求得直线AB，CD的解析式，解解析式组成的方程组即可得出P坐标．

解答 解：（1）过A点作AE⊥y轴，垂足为点E，如图1所示：
则∠AEB=90°，
∵B（0，1），C（-2，0），
∴BO=1，CO=2，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠BOC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABE和△BCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠BOC}\\{∠1=∠3}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCO（AAS），
∴AE=BO=1，BE=CO=2，
∵OB=1，
∴OE=1
∴A（1，-1）；
（2）根据题意得：AP=t，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴△BCP的面积S=$\frac{1}{2}$BP•BC=$\frac{1}{2}$t•$\sqrt{5}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$t；
（3）如图2所示，
∵S=$\frac{10}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{5}}{2}$t=$\frac{10}{3}$，
解得t=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
∵A（1，-1），B（0，1），
∴直线AB的解析式为y=-2x+1，
∵x轴平分∠BCP，
∴∠3=∠DCO，
在△OCB和△OCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠DCO}\\{OC=OC}\\{∠BOC=∠DOC}\end{array}\right.$，
∴△OCB≌△OCD（ASA），
∴OB=OD=1，
∴D（0，-1），
∵C（-2，0），
∴直线CD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-1，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+1}\\{y=-\frac{1}{2}x-1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{4}{3}$，-$\frac{5}{3}$）．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积的求法、坐标与图形性质；通过作辅助线构造三角形全等是解决问题的关键．