Question

10．在平面直角坐标系xOy中，对“隔离直线”给出如下定义：
点P（x，m）是图形G₁上的任意一点，点Q（x，n）是图形G₂上的任意一点，若存在直线l：kx+b（k≠0）满足m≤kx+b且n≥kx+b，则称直线l：y=kx+b（k≠0）是图形G₁与G₂的“隔离直线”．
如图1，直线l：y=-x-4是函数y=$\frac{6}{x}$（x＜0）的图象与正方形OABC的一条“隔离直线”．
（1）在直线y₁=-2x，y₂=3x+1，y₃=-x+3中，是图1函数y=$\frac{6}{x}$（x＜0）的图象与正方形OABC的“隔离直线”的为y₁=-2x；
请你再写出一条符合题意的不同的“隔离直线”的表达式：y=-3x；
（2）如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是（$\sqrt{3}$，1），⊙O的半径为2．是否存在△EDF与⊙O的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式；若不存在，请说明理由；
（3）正方形A₁B₁C₁D₁的一边在y轴上，其它三边都在y轴的右侧，点M（1，t）是此正方形的中心．若存在直线y=2x+b是函数y=x²-2x-3（0≤x≤4）的图象与正方形A₁B₁C₁D₁的“隔离直线”，请直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据的“隔离直线”的定义即可解决问题；
（2）连接OD，过点D作DG⊥x轴于点G，如图．过点D作DH⊥OD交y轴于点H，易知直线DH是⊙O的切线，也是△EDF与⊙O的“隔离直线”，求出直线DH即可解决问题；
（3）分两种情形正方形在x轴上方以及在x轴下方时，分别求出正方形的一个顶点在直线y=2x+b上时的t的值即可解决问题．

解答 解：（1）根据的“隔离直线”的定义可知y₁=-2x，是图1函数y=$\frac{6}{x}$（x＜0）的图象与正方形OABC的“隔离直线”，
直线y=-3x也是图1函数y=$\frac{6}{x}$（x＜0）的图象与正方形OABC的“隔离直线”，
故答案为y₁=-2x，y=-3x．

（2）连接OD，过点D作DG⊥x轴于点G，如图．

在Rt△DGO中，OD=$\sqrt{D{G}^{2}+O{G}^{2}}$=2，
sin∠1=$\frac{DG}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠1=30°，∠2=60°，
∵⊙O的半径为2，
∴点D在⊙O上．
过点D作DH⊥OD交y轴于点H，
∴直线DH是⊙O的切线，也是△EDF与⊙O的“隔离直线”．
在Rt△ODH中，OH=$\frac{OD}{cos∠2}$=4，
∴点H的坐标是（0，4），
∴直线DH的表达式为y=-$\sqrt{3}$x+4，
即所求“隔离直线”的表达式为y=-$\sqrt{3}$x+4．
（3）如图，

由题意F（4，5），当直线y=2x+b经过点F时，5=8+b，
∴b=-3，
∴直线y=2x-3，即图中直线EF，
∵正方形A₁B₁C₁D₁的中心M（1，t），
易知正方形正方形A₁B₁C₁D₁的边长为2，
当x=2时，y=1，
∴C₁（2，1），直线EF是函数y=x²-2x-3（0≤x≤4）的图象与正方形A₁B₁C₁D₁的“隔离直线”，此时t=2，
当直线y=2x+b与y=x²-2x-3只有一个交点时，
$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+b}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$消去y得到x²-4x-3+b=0，
由△=0，可得16-4（-3-b）=0，
解得b=-7，
此时易知M（1，-8），t=-8，
根据图象可知，当t≥2或t≤-8时，直线y=2x+b是函数y=x²-2x-3（0≤x≤4）的图象与正方形A₁B₁C₁D₁的“隔离直线”．

点评 本题考查一次函数正方形的性质、一次函数的应用、二元二次方程组．一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．