Question

6．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+2b）（a+b）=a²+3ab+2b²．请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a²+b²+c²的值；
（3）小明同学用3张边长为a的正方形，4张边长为b的正方形，7张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？
（4）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+7b）（18a+45b）长方形，那么x+y+z=2016．

Answer 1

分析 （1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可；
（2）将a+b+c=11，ab+bc+ac=38代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；
（3）先列出长方形的面积的代数式，然后分解代数式，可得到矩形的两边长；
（4）长方形的面积xa²+yb²+zab=（25a+7b）（18a+45b），然后运算多项式乘多项式法则求得（25a+7b）（18a+45b）的结果，从而得到x、y、z的值．

解答 解：（1）正方形的面积可表示为=（a+b+c）²；
正方形的面积=各个矩形的面积之和=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca，
所以（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca．
（2）由（1）可知：a²+b²+c²=（a+b+c）²-2（ab+bc+ca）=11²-38×2=121-76=45
（3）长方形的面积=3a²+7ab+4b²=（3a+4b）（a+b）．
所以长方形的边长为3a+4b和a+b，
所以较长的一边长为3a+4b
（4）∵长方形的面积=xa²+yb²+zab=（25a+7b）（18a+45b）=450a²+126ab+1125ab+315b²=450a²+1251ab+315b²，
∴x=450，y=1251，z=315．
∴x+y+z=450+1251+315=2016．
故答案为：2016．

点评 本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．