Question

1．如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N．
（1）求证：△BFM∽△NFA；
（2）试探究线段FM、DF、FN之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AC=BC，DN=12，$tanN=\frac{1}{2}$，求线段AC的长．

Answer 1

分析 （1）由DF与AB垂直，AD、BE为高，利用垂直的定义得到直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
（2）DF²=FM•FN，理由为：由（1）相似三角形，得比例，再利用两角相等的三角形相似得到三角形BFD与三角形DFA相似，得比例，等量代换即可得证；
（3）由AC=BC，利用等边对等角得到一对角相等，利用等角的余角相等得到一对角相等，再利用锐角三角函数定义得到FB=2FM，FD=4FM，根据（2）的结论求出FM的长，进而求出FB，FD，以及FN的长，再利用锐角三角函数定义求出AF，以及AB的长，利用勾股定理求出BD的长，即可求出AC的长．

解答 （1）证明：∵DF⊥AB，AD、BE是△ABC的高，
∴∠BFD=∠AFD=∠AEB=∠ADB=90°，
∴∠FBM=90°-∠BAC，∠N=90°-∠BAC，
∴∠FBM=∠N，
∵∠FBM=∠N，∠BFD=∠AFD，
∴△BFM∽△NFA；
（2）解：DF²=FM•FN，理由为：
证明：∵△BFM∽△NFA，
∴$\frac{FB}{FN}$=$\frac{FM}{FA}$，
∴FM•FN=FB•FA，
∵∠FBD+∠FDB=90°，∠FBD+∠FAD=90°，
∴∠FDB=∠FAD，
∵∠BFD=∠AFD，∠FDB=∠FAD，
∴△BFD∽△DFA，
∴$\frac{FB}{DF}$=$\frac{DF}{FA}$，即DF²=FB•FA，
∴DF²=FM•FN；
（3）解：∵AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC，
∵∠ABC+∠FDB=∠BAC+∠N=90°，
∴∠FDB=∠N=∠FBM，
∴$\frac{FM}{FB}$=tan∠FBM=tanN=$\frac{1}{2}$，$\frac{FB}{FD}$=tan∠FDB=tanN=$\frac{1}{2}$，
∴FB=2FM，FD=2FB=4FM，
∵DF²=FM•FN，
∴（4FM）²=FM•（4FM+12），
解得：FM=1或FM=0（舍去），
∴FB=2，FD=4，FN=FD+DN=16，
∵$\frac{AF}{FN}$=tanN=$\frac{1}{2}$，
∴AF=8，AB=AF+BF=10，
在Rt△BFD中，BD=$\sqrt{B{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
在Rt△ADB和Rt△ADC中，AD²=AB²-BD²=AC²-CD²，
∴AC²-（AC-2$\sqrt{5}$）²=10²-（2$\sqrt{5}$）²，
解得：AC=5$\sqrt{5}$．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．