Question

三个牧童A、B、C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需走的最大距离（看守点到本区域内最远处的距离）相等．按照这一原则，他们先设计了一种如图1的划分方案：把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心（对角线交点），看守自己的一块牧场．过了一段时间，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案．牧童B的划分方案如图2：三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧童C的划分方案如图3：把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个人所需走的最大距离相等．请回答：
（1）牧童B的划分方案中，牧童

 

（填A、B或C）在有情况时所需走的最大距离较远；
（2）牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原则，为什么？（提示：在计算时可取正方形边长为2）

Answer 1

分析：（1）易得A，B的距离相等，设正方形的边长为1，他们到最远处的距离为这个直角三角形斜边的一半，根据勾股定理进行计算可得C的距离最大；
（2）分别计算A，C的面积比较它们是否相等作出判断．

解答：解：（1）C；

（2）牧童C的划分方案不符合他们商量的划分原则．
理由如下：如图，在正方形DEFG中，四边形HENM、MNFP、DHPG都是矩形，且HN=NP=HG．
HE=PF，∠E=∠F=90°，
∴Rt△HEN≌Rt△PFN，
∴EN=NF，S_矩形HENM=S_矩形MNFP．
取正方形边长为2，设HD=x，则HE=2-x．
在Rt△HEN和Rt△DHG中．
由HN=HG得：EH²+EN²=DH²+DG²．
即：（2-x）²+1²=x²+2²．
解得：x=

1

4

．
∴HE=2-

1

4

=

7

4

．
∴S_矩形HENM=S_矩形MNFP=1×

7

4

=

7

4

，S_矩形DHPG=2×

1

4

=

1

2

．
∴S_矩形HENM≠S_矩形DHPG．
∴牧童C的划分方案不符合他们商量的划分原则．

点评：根据满足的条件找到线段之间的关系，然后根据勾股定理以及面积公式进行计算．