已知a、b为整数,若一元二次方程x2-axa-b+(2a-b-1)x+a2+a-b-4=0的根都是整数,求a、b的值.
分析:因为方程x2-axa-b+(2a-b-1)x+a2+a-b-4=0为一元二次方程,且两根和a,b均为整数,根据根与系数的关系和一元二次方程的定义分情况讨论分别求解a,b值,即可得出答案.
解答:解:根据题目分三种情况讨论:
①当a-b=2即b=a-2时,
原方程可化为:(1-a)x
2+(a+1)x+(a-2)=0,
设方程两根为:x
1,x
2,则:x
1+x
2=
,x
1x
2=
,
∵x
1,x
2为整数,∴x
1+x
2=
,x
1x
2=
均为整数,
可得:
或者
;
②当a-b=1即b=a-1时,
原方程可化为:x
2+a
2-3=0,
当:x
1,x
2,a,b为整数时,无解;
③当a-b=0即a=b时,
原方程可化为:x
2+(a-1)x+a
2-a-4=0,
x
1+x
2=1-a,x
1x
2=a
2-a-4,
可得有无数组a,b,x
1,x
2满足题意.
点评:本题主要考查根与系数的关系及一元二次方程的定义,难度较大,关键根据题意分情况讨论可能的各种情况,掌握x1,x2是方程x2+px+q=0的两根时,x1+x2=-p,x1x2=q.