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    （2011•大田县质检）数学兴趣小组对二次函数y=ax2+2x+3（a≠0）的图象进行研究得出一条结论：无论a取任何不为0的实数，抛物线顶点p都在某一条直线上．请你用“特殊-一般-特殊”的数学思想方法进行探究：
    （1）完成下表
    a的取值 -1 1
    顶点p的坐标
    并猜想抛物线y=ax2+2x+3（a≠0）顶点p所在直线的解析式；
    （2）请对（1）中所猜想的直线解析式加以验证、在所求的直线上有一个点不是抛物线y=ax2+2x+3（a≠0）的顶点，请你写出它的坐标；
    （3）当a=-1时，则抛物线y=-x2+2x+3的顶点为P，交x轴于点A（3，0），交y轴于点C、试探究在抛物线y=-x2+2x+3上是否存在除点P以外的点E，使得△ACE与△APC的面积相等？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）把a的值代入抛物线并把解析式整理成顶点式解析式，即可得到顶点坐标；然后利用待定系数法求直线函数解析式求出顶点P所在的直线解析式；
    （2）写出抛物线的顶点坐标，然后消掉参数a整理即可证明；根据顶点坐标的横坐标，利用分母不等于0求解直线不可以的点的坐标；
    （3）过点P作PF⊥y轴于点F，根据点A、C、P的坐标可得∠ACO=45°，∠PCF=45°，然后求出PC⊥AC，再求出点P关于点C的对称点P′，根据平行线间的距离相等，等底等高的三角形相等可知过点P与AC平行的直线与抛物线的交点即为所求的点E，然后联立直线与抛物线解析式求解即可．
    解答：解：（1）a=-1时，二次函数y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
    顶点坐标为（1，4），
    a=1时，二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2，
    顶点坐标为（-1，2），
    设顶点P所在的直线解析式为y=kx+b，
    则
    k+b=4
    -k+b=2
    ，
    解得
    k=1
    b=3
    ，
    所以，直线解析式为y=x+3；

    （2）根据二次函数y=ax2+2x+3的顶点坐标公式，
    x=-
    2
    2a
    =-
    1
    a
    ①，
    y=
    4a×3-4
    4a
    =3-
    1
    a
    ②，
    ①②联立消掉a得，y=x+3，
    ∵分母为0无意义，
    ∴x≠0，y≠3，
    ∴点（0，3）不是抛物线的顶点坐标；

    （3）存在．
    理由如下：如图，过点P作PF⊥y轴于点F，
    当x=0时，y=3，
    ∴点C的坐标为（0，3），
    ∵抛物线y=-x2+2x+3的顶点为P（1，4），点A的坐标为A（3，0），
    ∴△AOC，△PCF都是等腰直角三角形，
    ∴∠ACO=45°，∠PCF=45°，
    ∴∠ACP=90°，故PC⊥AC，
    根据点的对称可得点P关于点C的对称点P′（-1，2），
    根据等底等高的三角形的面积相等可得过点P、P′与AC平行的直线与抛物线的交点即为所求的点E，
    ∵A（3，0），C（0，3），
    ∴直线AC的解析式为y=-x+3，
    又平行直线的解析式的k值相等，
    设过点P的直线为y=-x+m，
    则-1+m=4，
    解得m=5，
    所以直线解析式为y=-x+5，
    联立
    y=-x+5
    y=-x2+2x+3
    ，
    解得
    x1=1
    y1=4
    ，
    x2=2
    y2=3
    ，
    ∵点P（1，4），∴点E1（2，3），
    设过点P′的直线为y=-x+n，
    则1+n=2，
    解得n=1，
    所以直线解析式为y=-x+1，
    联立
    y=-x+1
    y=-x2+2x+3
    ，
    解得
    x1=
    3+
    		17
    2
    y1=
    -1-
    		17
    2
    ，
    x1=
    3-
    		17
    2
    y1=
    -1+
    		17
    2
    ，
    所以，点E的坐标为E2（
    3+
    		17
    2
    ，
    -1-
    		17
    2
    ），E3（
    3-
    		17
    2
    ，
    -1+
    		17
    2
    ），
    综上所述，存在点E1（2，3），E2（
    3+
    		17
    2
    ，
    -1-
    		17
    2
    ），E3（
    3-
    		17
    2
    ，
    -1+
    		17
    2
    ），使得△ACE与△APC的面积相等．
    点评：本题是二次函数的综合题型，主要涉及到二次函数的顶点坐标公式，待定系数法求直线函数解析式，等底等高的三角形的面积相等，互相平行的直线的解析式的k值相等，关于点的对称点的求法，综合性较强，但难度不大，（2）中利用消参数法消掉字母a得到关于x、y的直线解析式，（3）要注意分点E在直线AC的两侧两种情况求解．
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    1
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    		3
    ，b=
    		5
    ；
    （2）解分式方程：
    1
    x-2
    =
    1-x
    2-x
    -3．

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