Question

【题目】如图，正方形中，，，分别是边，上的动点，，连接，交于点，过点作，且，若的度数最大时，则长为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠DCF，求得∠CPD=90°，得到点P在以CD为直径的半圆上运动，取CD的中点O，过O作OM⊥CD，且点M在CD的右侧，MO=2，连接OP，KM，推出四边形POMK是菱形，于是得到点K在以M为圆心，半径为2的半圆上运动，当BK与⊙M相切时，∠CBK最大，根据勾股定理即可得到结论．

∵正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠CDA=90°，

∵AE=DF，

∴△ADE≌△DCF(SAS)，

∴∠ADE=∠DCF，

∵∠ADE+∠CDE=90°，

∴∠DCF+∠CDE=90°，

∴∠CPD=90°，

∴点P在以CD为直径的半圆上运动，

取CD的中点O，过O作OM⊥CD，且点M在CD的右侧，MO=2，

连接OP，KM，过M作MN⊥BC，与BC的延长线交于点N，

∵PK∥BC，BC⊥CD，

∴PK⊥CD，

∴PK∥OM，PK=OM=2，

∴四边形POMK是平行四边形，

∵CD=AB=4，

∴OP=CD=2，

∴OP=OM，

∴四边形POMK是菱形，

∴点K在以M为圆心，半径为2的半圆上运动，

当BK与⊙M相切时，∠CBK最大，

∴∠BKM=90°，

∵，

∴，

故选：A.