Question

如图，在矩形ABCD中，点E为BC边上一点，连接AE，DE，若AE平分∠BED，DE：AE=5：6，CD=4，则EC的长为

 

．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,勾股定理

专题：

分析：过点A作AF⊥DE于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB，根据比例设DE=5k，AE=6k，利用三角形的面积和矩形的面积列式表示出BC，然后利用勾股定理表示出BE、EC，再根据BE=BC-EC列出方程，然后求解得到k的值，从而得解．

解答：解：如图，过点A作AF⊥DE于F，
在矩形ABCD中，AB=CD=4，
∵AE平分∠BED，
∴AF=AB=4，
设DE=5k，AE=6k，
∵S_△ADE=

1

2

DE•AF=

1

2

×5k•4=10k，
∴S_矩形ABCD=BC•CD=4BC=2•10k，
解得BC=5k，
由勾股定理得，BE=

AE2-AB2

=

36k2-16

，
EC=

DE2-CD2

=

25k2-16

，
∵BE=BC-EC，
∴

36k2-16

=5k-

25k2-16

，
解得k=

5

6

，
∴EC=

25×( 5 6 )2-16

=

7

6

．
故答案为：

7

6

．

点评：本题考查了矩形的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，勾股定理的应用，根据BC的长度列出方程是解题的关键，利用“设k法”表示出AE、DE更简便．