如图1.已知四边形ABCD是平行四边形.AC⊥BC且AC=BC.以BC.AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系B.直线y=3x+b过点D且与x轴交于点M．(1)请直接写出点D.b的值及点M的坐标,(2)如图2.点E是线段AB上的一点.点F是线段AC上的一点.且∠CEF=45°.若△CEF为等腰三角形.求线段AE的长,(3)如图3.点G为y轴正半轴上的一点.当∠BGM=45°时.求线段AG的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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8．如图1，已知四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BC且AC=BC，以BC、AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系B（-6，0），直线y=3x+b过点D且与x轴交于点M．
（1）请直接写出点D，b的值及点M的坐标；
（2）如图2，点E是线段AB上的一点，点F是线段AC上的一点，且∠CEF=45°，若△CEF为等腰三角形，求线段AE的长；
（3）如图3，点G为y轴正半轴上的一点，当∠BGM=45°时，求线段AG的长．

分析（1）根据点B的坐标求出AC、AD和BC的长，写出点D的坐标，把点D的坐标代入y=3x+b中求出b的值，并令y=0时，求出M的坐标；
（2）分三种情况：①当CE=CF时，如图2，E与B重合，F与A重合，AE=AB=6$\sqrt{2}$；②当CE=EF时，如图3，过E作EH⊥AC于H，得∠AEC=∠ECH=67.5，AE=AC=6；③当EF=CF时，如图4，设EF=x，利用EF∥BC得比例式$\frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AC}$求出，EF=AF=3，则AE=3$\sqrt{2}$；
（3）如图5，作△BGM的外接圆，圆心为E，求出EB的长，即是GE的长，根据勾股定理求出GF的长，所以AG=6．

解答解：（1）如图1，∵B（-6，0），
∴BC=6，
∵AC=BC，
∴AC=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BC，
∴AD=BC=6，AD⊥AC，
∴D（6，6），
把D（6，6）代入y=3x+b中得：6=3×6+b，
b=-12，
∴y=3x-12，
当y=0时，3x-12=0，
x=4，
∴M（4，0）；
（2）若△CEF为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当CE=CF时，如图2，则∠CEF=∠CFE，
∵∠CEF=45°，
∴E与B重合，F与A重合，
∴AE=AB=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$；
②当CE=EF时，如图3，过E作EH⊥AC于H，则∠CEH=∠FEH，
∵∠CEF=45°，
∴∠CEH=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
∴∠ECH=90°-22.5°=67.5°，
在△AEC中，∵∠BAC=45°，
∴∠AEC=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠AEC=∠ECH，
∴AE=AC=6；
③当EF=CF时，如图4，设EF=x，
∵EF=FC=x，∠CEF=45°，
∴∠EFC=∠CEF=45°，
∴∠EFC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠AFE=∠ACB，
∴EF∥BC，
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AC}$，
∵AC=BC，
∴EF=AF，
∴x=6-x，
x=3，
∴EF=AF=3，
∴AE=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
综上所述：AE的长为6$\sqrt{2}$或6或3$\sqrt{2}$；
（3）如图5，作BM的中垂线交AB于E，交BM于P，过E作EF⊥y轴于F，连接EM、GE，
∴EB=EM，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠EMB=45°，
∴∠BEM=90°，
∵∠BGM=45°，
∴点E是△BGM的外接圆的圆心，
∴EG=EB=EM，
∵BC=6，CM=4，
∴BM=10，
∴BP=PE=5，
∴BE=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴EG=5$\sqrt{2}$，
∵EF=6-5=1，
∴GF=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}-{1}^{2}}$=7，
∴AG=GF+FC-AC=7+5-6=6．

点评本题是一次函数与四边形的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点坐标和平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的对边相等且平行，当一个三角形为等腰三角形时，要运用分类讨论的思想，分三种情况进行讨论，与勾股定理和相似比例式相结合列方程求出边的长；当一动点与两定点组成的角是45°时，可以考虑作辅助圆，得同弧所对的圆心角为90°，从而使问题得以解决．

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