Question

1．（1）已知：A=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$，B=$\frac{1}{\sqrt{2}+2\sqrt{1}}$+$\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}$+$\frac{1}{3\sqrt{4}+4\sqrt{3}}$+…$\frac{1}{99\sqrt{100}+100\sqrt{99}}$，求A-B的值？
（2）解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{xy=2x+y-1}\\{yz=2z+3y-8}\\{zx=4z+3x-8}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）裂项即可；
（2）将x和z分别都用y表示出来，代入第三个方程，解出y，然后就可以解出x、z．

解答 解：（1）∵A=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{100}$-$\sqrt{99}$=$\sqrt{100}$-1=9
B=$\frac{\sqrt{1}}{1}-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}+…+\frac{\sqrt{99}}{99}-\frac{\sqrt{100}}{100}$=$\frac{9}{10}$，
∴A-B=$\frac{81}{10}$；

（2）将原方程组的三个方程编号：$\left\{\begin{array}{l}{xy=2x+y-1①}\\{yz=2z+3y-8②}\\{zx=4z+3x-8③}\end{array}\right.$
由①得：$x=\frac{y-1}{y-2}$，④
由②得：$z=\frac{3y-8}{y-2}$，⑤
将④⑤代入③得：$\frac{y-1}{y-2}•\frac{3y-8}{y-2}=\frac{4（3y-8）}{y-2}+\frac{3（y-1）}{y-2}-8$，
（y-1）（3y-8）=4（3y-8）（y-2）+3（y-1）（y-2）-8（y-2）（y-2），
3y²-11y+8=4（3y²-14y+16）+3（y²-3y+2）-8（y²-4y+4），
3y²-11y+8=12y²-56y+64+3y²-9y+6-8y²+32y-32，
4y²-22y+30=0，
2（y-3）（2y-5）=0，
∴y=3或=$\frac{5}{2}$，
将y=3分别代入④⑤得：x=2，z=1；
将y=$\frac{5}{2}$分别代入④⑤得：x=3，z=-1；
综上所述，方程组的解为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\\{z=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=\frac{5}{2}}\\{z=-1}\end{array}\right.$．

点评 本题是计算题，主要考查实数的基本运算、二次根式的化简、裂项技巧、三元二次方程组的解法等知识点，难度适中．第（1）小题清楚裂项公式是关键；
第（2）小题的基本思想是消元，任意选择两个方程将两个未知数用第三个未知数表示，即可代入第三个方程，解出一个未知数之后，剩下两未知数就可直接算出．