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    8．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3，4），点B在x轴的正半轴上，∠ABO=45°，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．
    （1）求B点的坐标；
    （2）如图2，动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度，沿O-C-A的路线向点A运动，同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点D，交线段BA或线段AO于点E，当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动，设点P的运动时间为ts．
    ①求△PAD的面积S与t之间的函数关系式；
    ②当t为何值时，S=8？
    ③点P在CA上运动时，是否存在以点A为圆心，AE长为半径的⊙A与坐标轴相切？如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．

    分析 （1）如图1中，作AM⊥OB于M，求出OM、MB的长即可解决问题．
    （2）①如图2中，当0≤t≤4时，根据S=S梯形ACOB-S△ACP-S△POD-S△ADB即可解决，当4＜t≤7时，根据S=$\frac{1}{2}$（7-t）×4即可解决．
    ②列出方程解方程即可，注意判断自变量取值范围．
    ③如图3中，作AM⊥OB于M，EN⊥AM于N，由EN∥OM，得$\frac{AE}{AO}$=$\frac{EN}{OM}$，求出AE，列出方程即可解决问题．

    解答 解：（1）如图1中，作AM⊥OB于M，

    ∵点A（3，4），
    ∴OM=3，AM=4，
    ∵∠ABO=45°，∠AMB=90°
    ∴∠ABM=∠BAM，
    ∴AM=BM=4，
    ∴OB=7，
    ∴点B坐标（7，0）．
    （2）①如图2中，

    当0≤t≤4时，S=S梯形ACOB-S△ACP-S△POD-S△ADB=$\frac{1}{2}$（3+7）×4-$\frac{1}{2}$×t×（7-t）-$\frac{1}{2}$×3×（4-t）-$\frac{1}{2}$×t×4=$\frac{1}{2}$t2-4t+14．
    当4＜t≤7时，S=$\frac{1}{2}$（7-t）×4=14-2t．
    综上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{t}^{2}-4t+14}&{（0≤t≤4）}\\{-2t+14}&{（4＜t≤7）}\end{array}\right.$．

    ②当$\frac{1}{2}$t2-4t+14=8，解得t=2或6，
    ∵0≤t≤4，
    ∴t=2，
    当-2t+14=8，解得t=3，不合题意舍弃．
    ∴t=2时，△PAD面积为8．

    ③存在．
    理由：如图3中，作AM⊥OB于M，EN⊥AM于N．

    ∵AO=$\sqrt{A{M}^{2}+O{M}^{2}}$=5，EN∥OM，
    ∴$\frac{AE}{AO}$=$\frac{EN}{OM}$，
    ∴$\frac{AE}{5}$=$\frac{t-4}{3}$，
    ∴AE=$\frac{5}{3}$（t-4），
    ∵以点A为圆心，AE长为半径的⊙A与坐标轴相切，
    ∴$\frac{5}{3}$（t-4）=3或$\frac{5}{3}$（t-4）=4，
    解得t=$\frac{29}{5}$或$\frac{32}{5}$，
    ∴当t=$\frac{29}{5}$或$\frac{32}{5}$时，以点A为圆心，AE长为半径的⊙A与坐标轴相切．

    点评 本题考查圆的综合题、三角形面积、平行线性质，切线的性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积，学会分类讨论，不能漏解，学会用方程的思想思考问题，注意自变量的取值范围，属于中考压轴题．

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