Question

10．如图，AB=AC，DB=DC，
（1）求证：AD平分∠BAC
（2）延长CD与AB的延长线相交于E，延长AD到F，使DF=DC，连接EF，若∠C=100°，
∠BAC=40°，求证AC+EF=AD+DC．

Answer 1

分析 （1）易证△ABD≌△ACD，由此可得∠1=∠2，即AD平分∠BAC；
（2）由△ABD≌△ACD得∠1=∠2，∠5=∠6，再证明△BDE≌△FDE，可得AC+EF=AB+BE=AE，AD+DC=AD+DF=AF，所以AC+EF=AD+DC．

解答 解：（1）证明：在△ABD和△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{DB=DC}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD，（SAS）
∴∠1=∠2，
∴AD平分∠BAC；
（2）由△ABD≌△ACD得∠1=∠2，∠5=∠6，
∵∠BAC=40°∠C=100°，
∴∠1=∠2=20°∠5=∠6=60°，
∵∠BDE+∠5+∠6=180°，
∴∠BDE=60°，
∵∠FDE=∠6=60°，
∵DF=DC，DB=DC，
∴DB=DF，
在△BDE和△FDE中
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DF}\\{∠BDE=∠FDE}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△FDE，
∴EB=EF∠3=∠4∠F=∠EBD，
又∵∠3+∠BAC+∠C=180°，
∴∠3=∠4=40°，
∵∠EBD=∠5+∠1=80°，
∴∠F=∠EBD=80°，
∵∠AEF=∠3+∠4=80°，
∴∠AEF=∠F，
∴AE=AF，
∵AC+EF=AB+BE=AE，AD+DC=AD+DF=AF，
∴AC+EF=AD+DC．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键证明△BDE≌△FDE．