Question

已知线段AB及点C，在线段AB上任取一点Q，线段CQ长度的最小值称为点C到线段AB的准距离．

（1）如图1，已知M，N点的坐标分别为（2，0），（4，0），则点P（1，1）到线段MN的准距离是______．
（2）如图2，已知点G到线段OE：y=x（0≤x≤3）的准距离为，且点G的横坐标为1，试求点G的纵坐标．

Answer 1

解：（1）过P作PC⊥x轴，连接PM，
∵P（1，1），
∴PC=CM=1，
根据勾股定理得：PM=，
则点P（1，1）到线段MN的准距离是；

（2）在坐标平面内作出线段DE：y=x（0≤x≤3）．
∵点G的横坐标为1，
∴点G在直线x=1上，设直线x=1交x轴于点H，交DE于点K，
①如图2所示，过点G₁作G₁F⊥DE于点F，则G₁F就是点G₁到线段DE的准距离，
∵线段DE：y=x（0≤x≤3），
∴△G₁FK，△DHK均为等腰直角三角形，
∵G₁F=，
∴KF=，由勾股定理得G₁K=2，
又∵KH=OH=1，
∴HG₁=3，即G₁的纵坐标为3；
②如图2所示，过点O作G₂O⊥OE交直线x=1于点G₂，由题意知△OHG₂为等腰直角三角形，
∵OH=1，
∴G₂O=，
∴点G₂同样是满足条件的点，
∴点G₂的纵坐标为-1，
综上，点G的纵坐标为3或-1．
故答案为：．
分析：（1）过P作x轴垂线，垂足为C，连接PM，可得出PC=CM=1，利用勾股定理求出PM的长，即为点P（1，1）到线段MN的准距离；
（2）在坐标平面内作出线段DE：y=x（0≤x≤3），点G的横坐标为1，点G在直线x=1上，设直线x=1交x轴于点H，交DE于点K，分两种情况考虑：①如图2所示，过点G₁作G₁F⊥DE于点F，则G₁F就是点G₁到线段DE的准距离，根据三角形GKF与三角形OKH都为等腰直角三角形，且OH=1，求出KH的长，由准距离GF为，求出GK的长，根据GK+KH求出GH的长，即为G₁的纵坐标；②如图2所示，过点O作G₂O⊥OE交直线x=1于点G₂，由题意知△OHG₂为等腰直角三角形，由OH的长求出HG₂的长，即为G₂的纵坐标，综上，得到所有满足题意G的纵坐标．
点评：此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：垂选段最短，等腰直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，弄清题中的新定义是解本题的关键．