Question

16．如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE=2，ED=4．
（1）求证：△ABE∽△ADB；
（2）求tan∠ADB的值；
（3）延长BC至F，连接FD，使△BDF的面积等于8$\sqrt{3}$，求证：DF与⊙O相切．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理可知：∠BDA=∠ABE，从而可证明：△ABE∽△ADB；
（2）由（1）可知：AB2=AE•AD，从而可求出AB的长度，由圆周定理可知：∠BAD=90°，所以tan∠ADB=$\frac{AB}{AD}$=2$\sqrt{3}$．
（3）连接CD，由（2）可知∠ADB=30°，利用勾股定理可知BD=4$\sqrt{3}$，从而可求出CD以及BC的长度，利用三角形面积公式即可求出△BCD的面积，从而可知△CDF的面积，进而求出CF的长度．

解答 解：（1）∵A是$\widehat{BC}$的中点，
∴$\widehat{BA}=\widehat{AC}$，
∴∠BDA=∠ABE，
∵∠BAE=∠BAE，
∴△ABE∽△ADB，

（2）由（1）可知：$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AB}{AD}$，
∴AB²=AE•AD，
∵AE=2，ED=4．
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴tan∠ADB=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；

（3）连接CD，
∵AB=2$\sqrt{3}$，AD=6，
∴由勾股定理可知：BD=4$\sqrt{3}$，
由（2）可知：tan∠ADB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴∠ADB=30°，
∴∠ABE=∠ADB=30°，
∴∠DBC=30°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴sin∠DBC=$\frac{CD}{BD}$，
∴CD=2$\sqrt{3}$，
由勾股定理可知：BC=6，
∴S_△BDC=$\frac{1}{2}$BC•CD=6$\sqrt{3}$，
∴S_△CDF=S_△BDF-S_△BDC=2$\sqrt{3}$，
∵S_△CDF=$\frac{1}{2}$CF•CD，
∴CF=2，
∴tan∠F=$\frac{CD}{CF}$=$\sqrt{3}$，
∴∠F=60°，
∴∠BDF=90°，
∴DF与⊙O相切．

点评 本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理三角形面积公式，特殊角的三角函数等知识，综合程度较高．