Question

16．等腰三角形中一个角为30°，腰长为a，则它的面积为$\frac{1}{4}$a²或$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²．

Answer 1

分析 （1）如图1，过点A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得BC=2BD，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD=$\frac{1}{2}$AB，再利用勾股定理列式求出BD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）如图2，过点B作BD⊥AC于D，根据直角三角形的性质得到BD=$\frac{1}{2}$a，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答 解：（1）如图1，过点A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BC=2BD，
∵底角∠B=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a，
由勾股定理得，BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴BC=2BD=$\sqrt{3}$a，
∴三角形的面积=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$a×$\frac{1}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²．
（2）如图2，过点B作BD⊥AC于D，
∵∠A=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$a，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{4}$a²，
故答案为：$\frac{1}{4}$a²或$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²．

点评 本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．